第1章 1.2.1 对应、映射和函数（分层训练）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（湘教版必修1）

1．2　函数的概念和性质 1．2.1　对应、映射和函数 一、基础达标 1．已知A＝{－1,1}，映射f：A→A，则对x∈A，下列关系中肯定错误的是(　　) A．f(x)＝x　　　　　　　 B．f(x)＝－1 C．f(x)＝x2 D．f(x)＝x＋2 答案　D 解析　对于D，取x＝1∈A，但是通过f，对应f(1)＝3∉A.由映射定义知，D错误．[来源:Z#xx#k.Com] 2．已知函数f(x)＝，则f(1)等于(　　) A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．0 答案　B 解析　f(1)＝＝2. 3．下列各组函数中，表示同一函数的是(　　) A．y＝x－1和y＝ B．y＝x和y＝ C．y＝x2和y＝(x＋1)2 D．y＝和y＝ 答案　D 解析　A，B中两函数的定义域不同，C中的两个函数对应法则不同，故选D. 4．下图中建立了集合P中元素与集合M中元素的对应f.其中为映射的对应是________． 答案　(2)(5) 5．已知函数f(x)＝x2＋|x－2|，则f(1)＝________. 答案　2 解析　f(1)＝12＋|1－2|＝2. 6．已知集合A到集合B＝{2,3,4,5}的映射f：x→y＝|x|－1，且集合B中至少有一个元素在集合A中没有原象，则集合A中最多有________个元素． 答案　6 解析　若|x|－1＝2，则x＝±3；若|x|－1＝3，则x＝±4；若|x|－1＝4，则x＝±5；若|x|－1＝5，则x＝±6.又因为集合B中至少有一个元素在集合A中没有原象，所以集合A中最多有6个元素． 7．已知A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，其中m，n∈N＋.若x∈A，y∈B，有对应法则f：x→y＝px＋q是从集合A到集合B的一个函数，且f(1)＝4，f(2)＝7，试求p，q，m，n的值． 解　由f(1)＝4，f(2)＝7，列方程组：⇒故对应法则为f：x→y＝3x＋1.由此判断出A中元素3的象是n4或n2＋3n.若n4＝10，因为n∈N＋，不可能成立，所以n2＋3n＝10，解得n＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A中的元素m的象是n4时，即3m＋1＝16，解得m＝5.当集合A中的元素m的象是n2＋3n时，即3m＋1＝10，解得m＝3.由元素互异性知，舍去m＝3.故p＝3，q＝1，m＝5，n＝2. 二、能力提升 8．设f(x)＝，则等于(　　) A．1　　　　B．－1 C.　　　　D．－ 答案　B 解析　∵f(2)＝＝，f＝＝－， ∴＝×(－)＝－1. 9．g(x)＝－3x，f(x)＝(x≠0)，则f()×g()等于(　　) A．－　　　B.C.　　　　D．9 答案　C 解析　∵f()＝＝15， g()＝－＝，∴f()×g()＝. 10．已知集合A＝{a，b}，B＝{c，d}，则从A到B的不同映射有________个． 答案　4 解析　a→c，b→c；a→d，b→d；a→c，b→d；a→d，b→c，共4个． 11．若f(x)＝ax2－，a为一个正的常数，且f[f()]＝－，求a的值． 解　因为f()＝2a－. 所以f[f()]＝f(2a－)＝a·(2a－)2－＝－， 所以a·(2a－)2＝0(a＞0)，故2a－＝0，所以a＝. 三、探究与创新 12．已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，a∈N＋，k∈N＋，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k，A，B. 解　根据对应法则f，有： 1→4；2→7；3→10；k→3k＋1. 若a4＝10，则a∉N＋，不符合题意，舍去； 若a2＋3a＝10， 则a＝2(a＝－5不符合题意，舍去)． 故3k＋1＝a4＝16，得k＝5. 综上：a＝2，k＝5，集合A＝{1,2,3,5}． B＝{4,7,10,16}． 13．已知函数f(x)＝. (1)求f(2)与f()，f(3)与f()； (2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与f()有什么关系吗？并证明你的发现； (3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2014)＋f()＋f()＋…＋f()．[来源:学科网] 解　(1)∵f(x)＝， ∴f(2)＝＝，f()＝＝， f(3)＝＝，f()＝＝. (2)由(1)可发现f(x)＋f()＝1，证明如下： f(x)＋f()＝＋＝＋＝1. (3)由(2)知：f(2)＋f()＝1，f(3)＋f()＝1，…，f(2014)＋f()＝1， ∴原式＝＋1＋1＋1＋…＋1＝2013＋＝. 2013个 $$