1.2.7 二次函数的图象和性质——增减性和最值（课件+word）-【创新设计】2019版同步课堂讲义数学（湘教版必修1）

1.2.7　二次函数的图象和性质——增减性和最值 [学习目标]　1.了解二次函数的定义.2.掌握二次函数的图象及增减性和最值． [知识链接] 1．函数y＝x2－2x－3的对称轴为x＝1，该函数的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(－∞，1)． 2．函数y＝x2的最小值为0. [预习导引] 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)，当a＞0(a＜0)时，在区间(－∞，－]上递减(递增)，在[－，＋∞)上递增(递减)，图象曲线开口向上(下)，在x＝－处取到最小(大)值f(－)＝－，这里Δ＝b2－4ac.点(－，－)叫作二次函数图象的顶点. 要点一　求二次函数的解析式 例1　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数解析式． 解　方法一　利用二次函数一般式． 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 则 由①②得b＝－a，则2a＋c＝－1，即c＝－2a－1. 代入③整理得a2＝－4a， 解得a＝－4，或a＝0(舍去)． ∴b＝4，c＝7. 因此所求二次函数解析式为y＝－4x2＋4x＋7. 方法二　利用二次函数顶点式． 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ∵f(2)＝f(－1)， ∴抛物线对称轴为x＝＝，即m＝. 又根据题意函数有最大值为n＝8， ∴y＝f(x)＝a(x－)2＋8， ∵f(2)＝－1，∴a(2－)2＋8＝－1. 解之得a＝－4. ∴f(x)＝－4(x－)2＋8＝－4x2＋4x＋7. 方法三　利用两根式． 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1. 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1.[来源:学科网] 又函数有最大值8， ∴＝8. 解之得a＝－4. ∴所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 规律方法　用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即f(x)＝ax2＋bx＋c(一般式)、f(x)＝a(x－x1)·(x－x2)(两根式)、f(x)＝a(x－m)2＋n(顶点式)． 跟踪演练1　已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2＋4x.求f(x)的解析式． 解　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c， f(x－1)＝a(x－1)2＋b(x－1)＋c， 又f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2＋4x， ∴2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2＋4x， ∴∴ ∴f(x)＝x2＋2x－1. 要点二　二次函数的增减性 例2　f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是递增函数，求m的取值范围． 解　函数的顶点横坐标为x＝， 又函数在区间[－2，＋∞)上是递增函数， ∴≤－2，即m≤－16， 故m的取值范围是{m|m≤－16}． 规律方法　f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在(－∞，－]上是递减函数，在[－，＋∞)上是递增函数． 跟踪演练2　已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数． 解　(1)当a＝－1时， f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1， x∈[－5,5]，1∈[－5,5]． ∴当x＝1时，f(x)min＝1； 当x＝－5时，f(x)max＝37. (2)f(x)＝(x＋a)2＋2－a2， 其顶点横坐标为x＝－a. ∵f(x)在区间[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5或－a≥5. 故a的取值范围是a≤－5或a≥5. 要点三　求二次函数的值域或最值 例3　求函数y＝x2－2ax－1在[0,2]上的值域． 解　①当a＜0时，ymin＝f(0)＝－1， ymax＝f(2)＝4－4a－1＝3－4a， 所以函数的值域为[－1,3－4a]． ②当0≤a≤1时，ymin＝f(a)＝－(a2＋1)， ymax＝f(2)＝3－4a， 所以函数的值域为[－(a2＋1)，3－4a]． ③当1＜a≤2时，ymin＝f(a)＝－(a2＋1)， ymax＝f(0)＝－1， 所以函数的值域为[－(a2＋1)，－1]． ④当a＞2时，ymin＝f(2)＝3－4a，ymax＝f(0)＝－1， 所以函数的值域为[3－4a，－1]． 规律方法　在求二次函数的最值时，要注意定义域是R还是区间[m，n]，若是区间[m，n]，最大(小)值不一定在顶点取得，而应该看顶点横坐标是在区间[m，n]内还是在区间的左边或右边．在区间的某一边时应该利用函数的增减性求解，最值不在顶点上取得，而在区间的端点上取得． 跟踪演练3　已知二次函数f(x)＝x2－2x＋2. (1)当x∈[0,4]时，求f(