第2章 2.3.1-2.3.2 幂函数的概念 幂函数的图象和性质（分层训练）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（湘教版必修1）

2．3　幂函数 2．3.1　幂函数的概念 2．3.2　幂函数的图象和性质 一、基础达标 1．已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)的值为(　　) A．16 B. C. D．2 答案　C 解析　设f(x)＝xα，则有2α＝，解得α＝－，即f(x)＝x，所以f(4)＝4＝. 2．下列命题中正确的是(　　) A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过(0,0)(1,1)两点 C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域上是增函数 D．幂函数的图象不可能在第四象限 答案　D 解析　当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图象为两条射线，故A选项不正确；当α＜0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故选项B不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故选项C不正确；当x＞0，α∈R时，y＝xα＞0，则幂函数的图象都不在第四象限，故选项D正确． 3．下列幂函数中①y＝x－1；②y＝x；③y＝x；④y＝x2；⑤y＝x3，其中在定义域内为增函数的个数为(　　) A．2B．3C．4D．5 答案　B 解析　由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数． 4．当0＜x＜1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2的大小关系是(　　) A．h(x)＜g(x)＜f(x) B．h(x)＜f(x)＜g(x) C．g(x)＜h(x)＜f(x) D．f(x)＜g(x)＜h(x) 答案　D 解析　在同一坐标系中，画出当0＜x＜1时，函数y＝x2，y＝x，y＝x－2的图象，如图所示． ∴当0＜x＜1时，有x－2＞x＞x2， 即f(x)＜g(x)＜h(x)． 5．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　) A．y＝x－2 B．y＝x－1 C．y＝x2 D．y＝ 答案　A 解析　由于y＝x－1和y＝都是奇函数，故B、D不合题意．又y＝x2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C不合题意．y＝x－2＝在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A满足题意． 6．幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，则满足f(x)＝－27的x值等于________． 答案　－ 解析　设f(x)＝xα，由题意可知2α＝，α＝－3， 即f(x)＝x－3. 由x－3＝－27可知x＝－. 7．比较下列各组中两个值的大小： (1)1.5与1.6；(2)0.61.3与0.71.3； (2)3.5与5.3；(4)0.18－0.3与0.15－0.3. 解　(1)∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，且1.5＜1.6，∴1.5＜1.6. (2)∵幂函数y＝x1.3在(0，＋∞)上单调递增，且0.6＜0.7，∴0.61.3＜0.71.3. (3)∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上单调递减，且3.5＜5.3，∴3.5＞5.3. (4)∵幂函数y＝x－0.3在(0，＋∞)上单调递减，且0.18＞0.15，∴0.18－0.3＜0.15－0.3 二、能力提升 8．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a 答案　C 解析　∵函数y＝x在R上是减函数，又＞， ∴＜，即a＜b. 又∵函数y＝x在R上是增函数，且＞， ∴＞，即c＞b， ∴a＜b＜c. 9．函数y＝的图象是(　　) 答案　B 解析　方法一　代入选项验证即可． 方法二　y＝＝＝－＋1，利用函数图象的变换可知选B. 10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有(　　) A．7个B．8个C．9个D．无数个 答案　C 解析　值域为{1,4}，∴其定义域由1，－1,2，－2组成，∴有{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，{1，－1，－2}，{1，－1,2}，{1,2，－2}，{－1,2，－2}，{1，－1,2，－2}，共有9种情况． 11．已知幂函数f(x)的图象过点(25,5)． (1)求f(x)的解析式； (2)若函数g(x)＝f(2－lgx)，求g(x)的定义域、值域． 解　(1)设f(x)＝xa，则由题意可知25a＝5， ∴a＝，∴f(x)＝x. (2)∵g(x)＝f(2－lgx)＝， ∴要使g(x)有意义，只需2－lgx≥0， 即lgx≤2，解得 0＜x≤100. ∴g(x)的定义域为(0,100]， 又2－lgx≥0， ∴g(x)的值域为[0，＋∞)． 三、探究与创新 12．已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2＜x＜2，x∈Z}，满足： (1)是区间(0，＋∞)上的增函数； (2)对任意的x∈R，都有