精品解析：江苏省海安高级中学2019届高三12月月考数学试题

高三年级阶段测试（三） 数学试卷 一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1. 设全集．若集合，，则_________． 2. 已知复数满足，则_____________． 3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为_________ 4. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_______. 5. 已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为__________． 6. 在中，，，，则__________． 7. 方程解为________． 8. 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为________． 9. 若，则=________ 10. 已知数列和，其中，，项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则________ 11. 设函数，若无最大值，则实数的取值范围是__． 12. 在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则________． 13. 已知圆O：，定点，过点A直线l与圆O相较于B，C两点，两点B，C均在x轴上方，若OC平分，则直线l的斜率为________. 14. 已知正实数a，b满足，则的最小值是_______． 二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点. （1）求证：PE⊥BC； （2）求证：EF∥平面PCD. 16. 已知函数=4tan xsin（）cos（） . （Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f（x）在区间[]上的单调性. 17. 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南角方向，300 km的海面P处，并以20km / h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10km / h的速度不断增大． （1） 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由； （2） 城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？ 18. 已知椭圆离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若，求最大值； （Ⅲ）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点 共线，求. 19. 已知数列与满足： ，，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设，证明：是等比数列； （Ⅲ）设证明：． 20. 已知函数，． （1）求在点P(1，)处的切线方程； （2）若关于x的不等式有且仅有三个整数解，求实数t的取值范围； （3）若存在两个正实数，满足，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级阶段测试（三） 数学试卷 一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1. 设全集．若集合，，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以 考点：集合运算 2. 已知复数满足，则_____________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：设，代入，由复数相等的条件列式求得的值得答案． 详解：由，得， 设， 由得，即，解得， 所以，则． 点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力． 3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】由已知程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【详解】模拟程序的运行过程，第一次运行：k=1时，， 第二次运行：k=2时， 第三次运行：此时k=3满足，退出循环，输出 故答案为. 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 4. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可． 【详解】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个， 从中选2个不同的数有45种， 和等于30的有（7，23），（11，19），（1