精做03 导数在研究函数中的应用-学易试题君之大题精做君2018-2019学年高二数学人教版（选修2-2）

1．已知函数 ． （1）当 时，求曲线 在 处的切线方程； （2）设函数 ，求函数 的单调区间． 2．已知二次函数 在 处取得极值，且函数 在点 处的切线与直线 平行． （1）求 的解析式； （2）求函数 的极值； （3）求函数 在 上的值域． 3．已知函数 在 处取得极值． （1）求实数 的值； （2）若 ，试讨论 的单调性． 4．已知函数 ． （1）若 ，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n， ，求m的最小值． 5．已知函数 ． （1）若函数 为 上的增函数，求实数 的取值范围； （2）若函数 有两个不同的零点 ，证明： ． 6．已知函数 ． （1）当 时，求曲线 在 处的切线方程； （2）若函数 在区间 上的最小值为0，求a的值． 7．已知函数 ． （1）若函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围； （2）若 在 时恒成立，求实数 的取值范围． 8．已知函数 ． （1）求函数 的最小值； （2）若 恒成立，求实数 的取值范围． 9．已知函数 ． （1）当 时，求函数 在区间 上的最值； （2）讨论 的单调性； （3）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围． 10．（2018新课标全国Ⅰ理）已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）若 存在两个极值点 ，证明： ． 11．（2018新课标全国Ⅲ理）已知函数 ． （1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ； （2）若 是 的极大值点，求 ． 12．（2017江苏）已知函数 有极值，且导函数 的极值点是 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求 关于 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明： ； （3）若 ， 这两个函数的所有极值之和不小于 ，求 的取值范围． 13．（2018新课标全国Ⅱ理）已知函数 ． （1）若 ，证明：当 时， ； （2）若 在 只有一个零点，求 ． 14．（2018北京理）设函数 =[ ] ． （1）若曲线y=f（x）在点（1， ）处的切线与 轴平行，求a； （2）若 在x=2处取得极小值，求a的取值范围． 15．（2018浙江）已知函数f(x)=−lnx． （1）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2； （2）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点． 16．（2017新课标全国Ⅱ理）已知函数 ，且 ． （1）求 ； （2）证明： 存在唯一的极大值点 ，且 ． $$ 1．已知函数 ． （1）当 时，求曲线 在 处的切线方程； （2）设函数 ，求函数 的单调区间． 【答案】（1）；（2）见解析． 【解析】（1）当时，，切点为， ，学&科网 曲线在点(1，1)处的切线方程为，即． 2．已知二次函数 在 处取得极值，且函数 在点 处的切线与直线 平行． （1）求 的解析式； （2）求函数 的极值； （3）求函数 在 上的值域． 【答案】（1）；（2）极小值为0，极大值为；（3） ． （2）由题意得， 所以． 令，得． 令，得 或 ； 令，得 ． 当 变化时，，的变化情况如下表： 0 0 ↗ ↘ 0 ↗ 所以函数g(x)在x2=1处有极小值，且极小值为g(1)=0． 在处有极大值，且极大值为． （3）∵g(0)=0，g(2)=2， ∴由（2）知：当 时，函数g(x)的最大值为2，最小值为0． ∴函数 在 上的值域为 ． 3．已知函数 在 处取得极值． （1）求实数 的值； （2）若 ，试讨论 的单调性． 【答案】（1） ；（2） 在 和 上单调递减，在 和 上单调递增． 【解析】（1）由题可得 ， 因为 在 处取得极值，所以 ， 即 ，解得 ． 4．已知函数 ． （1）若 ，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n， ，求m的最小值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由题可知函数 的定义域为 ． 当 时，易知 ，不满足题意； 当 时， ， 当 时， ；当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，因为 ，所以 ．学*科网 （2）由（1）知当 时， ． 令 ，可得 ． 所以 ， 所以 ． 因为 ，所以整数 的最小值为 ． 5．已知函数 ． （1）若函数 为 上的增函数，求实数 的取值范围； （2）若函数 有两个不同的零点 ，证明： ． 【答案】（1） ；（2）见解析． （2）由题知 ， 上述两式相减可得，即， 故要证，只需证 ， 即证 ，即证， 不妨设，令，则需证， 设，则， 设，则， 故在上单调递减， ∴，即， ∴在上单调递减， ∴，即， 故原不等式得证． 6．已知函数 ． （1）当 时，求曲线 在 处的切线方程； （2）若