专题02 二次函数与实际问题-2018年九年级下册数学名师学案（湘教版）

专题二　二次函数与实际问题 实际问题与二次函数是历年来各地中考的重点和热点，主要以解答题的形式出现．常见的有以下三种类型：一是以利润问题为背景；二是以面积问题为背景；三是以实物抛物线问题为背景(如拱桥、球类运动等)． 　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　利润问题 1．(中考·营口)某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现，当售价为25元时，平均每天能售出8件，而当售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为__22__元时，该服装店平均每天的销售利润最大． 2．(2016·潍坊)旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元． (1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费) (2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？ 解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0<x≤100，由50x－1100>0，解得x>22，又∵x是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元； (2)设每辆车的净收入为y元， 当0<x≤100时，y1＝50x－1100， ∵y1随x的增大而增大，∴当x＝100时，y1的最大值为50×100－1100＝3900；[来源:Zxxk.Com] 当x>100时，y2＝(50－(x－175)2＋5025， )x－1100＝－ 当x＝175时，y2的最大值为5025， 5025>3900， 故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元． 类型二　面积问题 3．(2016·衢州)某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为__144__m2. 4．(2016·绍兴)课本中有一个例题：[来源:学_科_网Z_X_X_K] 有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35 m时，透光面积最大值约为1.05 m2.[来源:学科网] 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6 m，利用图3，解答下列问题： (1)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积； (2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明． 解：(1)由已知可得，AD＝， ＝ 则S＝1×(m2)．＝ (2)改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值变大．理由如下：设AB＝x m，则AD＝(3－x) m. ∵3－， x>0，∴0<x< 设窗户面积为S，由已知得： S＝AB·AD＝x(3－>1.05，∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．，时，S的最大值为的范围内，当x＝，在0<x<)2＋(x－x2＋3x＝－x)＝－ [来源:学科网ZXXK] 类型三　实物抛物线问题 5．(2016·台州)竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝__1.6__． 6．(2016·青岛)如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为 m. m，m，到墙边OA的距离分别为 (1)求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离； (2)若该墙的长度为10 m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？ 解：(1)根据题意得：B(， ，解得：)，把B，C代入y＝ax2＋bx得，，)，C(， ∴抛物线的函数关系式为 y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1， ∴y的最大值是1， ∴图案最高点到地面的距离为1 m； (2)令y＝0，即－x2＋2x＝0， ∴x1＝0，x2＝2，∴10÷2＝5， ∴最多可以连续绘制5个这样的抛物线形图案．[来源:Zxxk.Com] 7．(2016·丽水)如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y＝x＋3的绳子．x2－ (1)求绳子最低点离地面的距离； (2)因实际需要，在离AB为3 m的位置处用一根立柱MN撑起绳子(如图2)，使左边抛物线F