2.2.2.1 圆周角定理及其推论一-2018年九年级下册数学名师学案（湘教版）

2．2.2　圆周角 第1课时　圆周角定理及其推论一 ●名师导学 圆周角必须具备两个特征：第一，顶点在圆上；第二，两边都与圆相交．同一个圆中，同一条弧所对的圆周角有无数个，且度数都等于这条弧所对的圆心角的一半．相应地，在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等． ●名题引路 【例】　如图所示，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，且AB＝AD，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，求∠ABD的度数．[来源:学科网] 分析：连接OB，OC，OD，根据已知可分别求得∠BOC、∠COD的度数，进而得到∠BOD的度数，由圆周角定理可得∠A，最后由等腰△ABD即可求出∠ABD的度数． 解：连接OB，OC，OD.∵∠BOC＝2∠BDC，∠COD＝2∠CBD，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，∴∠BOC＝40°，∠COD＝60°，∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝100°，∴∠BAD＝50°.又∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB， ∴∠ABD＝(180°－∠BAD)＝65°. ●易错警示 误将“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”理解为“同弦或等弦”也成立而出错，由于弦所对的圆周角有两个，故不成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．顶点在__圆上__，并且两边与圆__相交__的角，叫做圆周角． 2．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的__一半__． 3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角__相等__；相等的圆周角所对的弧也__相等__． ● 　圆周角和圆周角定理 1．下列四个图中，∠x是圆周角的是(C) 2．如图，在⊙O中，∠COD＝30°，点A在⊙O上，则∠CAD的度数等于(A) A．15° B．20° C．25° D．30°[来源:学。科。网] 第2题图 　　　第3题图 　　　第4题图 3．(中考·山西)如图，点A，B，C在⊙O上，连接OA，OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为(B) A．30° B．40° C．50° D．80° 4．(中考·临沂)如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC的度数为(B) A．25° B．50° C．60° D．80° ● 　圆周角定理的推论一 5．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B等于(D) A．15° B．40° C．75° D．35° 第5题图 　　　　　第6题图 6．如图，OA是⊙O的半径，点A是的中点，D是⊙O上一点，若∠ADC＝26°，则∠AOB的度数为(C) A．13° B．26° C．52° D．78° 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．如图，在⊙O中，∠COB＝50°，∠B＝15°，则∠C的度数为(B) A．25° B．10° C．15° D．20° 第1题图 　　　　　第2题图 [来源:Z*xx*k.Com] 2．如图，点A、E、B在⊙O上，圆周角∠ACE＝25°，∠BDE＝15°，则圆心角∠AOB的度数是(B) A．90° B．80° C．100° D．70° 3．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABO＝32°，∠ACO＝38°，则∠BOC等于(D) A．60° B．70° C．120° D．140°[来源:学科网ZXXK] 第3题图 　　　　　第4题图 4．如图，⊙O中，已知∠BAC＝∠CDA＝20°，则∠ABO的度数为__50°__． 5．(中考·龙岩)如图，A，B，C是半径为6的⊙O上三个点，若∠BAC＝45°，则弦BC＝__6__． 第5题图 　　　　　第6题图 6．中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆周五等分，然后连接五等分点而得(如图)，五角星的每一个角的度数是__36°__． 7．已知某个圆的弦长等于它的半径，则这条弦所对的圆周角的度数是__30°或150°__． 8．如图，已知CD平分∠ACB，DE∥AC，求证：DE＝BC. 证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD. ∴.＝ ∵DE∥AC， ∴∠ACD＝∠CDE. ∴.＝.∴＝，∴＝ ∴DE＝BC. 9．如图，点A，B，C，P在⊙O上，且∠APB＝∠APC＝60°，求证：△ABC是等边三角形． 证明：∵∠APB与∠ACB是同弧所对的圆周角，∴∠APB＝∠ACB＝60°，同理∠ABC＝∠APC＝60°， ∴△ABC是等边三角形. 【精英乐园】 10．如图，等边△ABC的三个顶点均在⊙O上，P是上任一点(点P不与点A，B重合)．连接AP，BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M. (1)填空：∠APC＝__60__度，∠BPC＝__60__度； (2)求证：△ACM≌△BCP. 证明：∵CM∥BP， ∴∠BPM＋∠M＝18