2.2.2.2 圆周角定理及其推论二-2018年九年级下册数学名师学案（湘教版）

第2课时　圆周角定理及其推论二 ●名师导学[来源:Z|xx|k.Com] 1．在圆中，直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径，因此，在解题时要注意一种常见的作辅助线的方法，即见直径，作直径所对的圆周角，反之，有90°的圆周角，通常作直径． 2．圆的内接四边形对角互补． ●名题引路[来源:学科网ZXXK] 【例】　如图，AE是⊙O的直径，弦AF⊥BC于点D，求证：BE＝CF. 分析：若要证明BE＝CF，则可转化为证∠BAE＝∠FAC即可，根据圆周角定理和等角的余角相等证明即可． 证明：∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠E＋∠BAE＝90°，∵AF⊥BC于D，∴∠FAC＋∠ACB＝90°， ∵∠E＝∠ACB， ∴∠BAE＝∠FAC， ∴，∴BE＝CF.＝ ●易错警示 与圆周角有关的问题常常会出现多解情况，在解题时由于考虑不周忽视分类讨论而导致漏解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．直径所对的圆周角是__直角__；90°的圆周角所对的弦是__直径__． 2．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，顺次连接A，B，C，D四点，我们把四边形ABCD称为__圆内接四边形__，⊙O叫作四边形ABCD的__外接圆__． 3．圆内接四边形对角___互补__． ● 　圆周角定理的推论二 1．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝35°，则∠B的度数是(C) A．35° B．45° C．55° D．65° 2. (中考·潍坊)如图，▱ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是(B) A．44° B．54° C．72° D．53° 第1题图 　　第2题图 　　第3题图 3．(中考·牡丹江)如图，⊙O的直径AB＝2，弦AC＝1，点D在⊙O上，则∠D的度数是(C)[来源:学_科_网] A．30° B．45° C．60° D．75° ● 　 圆内接四边形对角互补 4. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝70°，则∠A等于(B) A．35° B．70° C．110° D．140° 第4题图 　　　第5题图 5. 如图，已知⊙O中，圆心角∠AOB＝100°，则圆周角∠ACB等于(A) A．130° B．120° C．110° D．100°[来源:学科网] 6．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD＝130°，BC∥OD交⊙O于C，求∠A的度数． 解：∵∠AOD＝130°， ∴∠BOD＝50°. ∵BC∥OD， ∴∠ABC＝∠BOD＝50°. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°.[来源:学。科。网Z。X。X。K] ∴∠A＝90°－∠B＝40°. 1. 如图，AB为半圆的直径，C为半圆上的一点，CD⊥AB于D，连接AC，BC，则与∠ACD互余的角有(B) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第1题图 　　　第2题图 2．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC，AD，BD，若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为(B) A．35° B．55° C．65° D．70° 3. 如图，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，且点C不与A，B重合，则∠ACB的度数为(D) A．50° B．80°或50° C．130° D．50°或130° 4．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠D等于(B) A．60° B．120° C．140° D．150° 5. 如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB的度数是__65°__. 6. 如图，⊙C过原点并与坐标轴分别交于A，D两点．已知∠OBA＝30°，点D的坐标为(0，2__). )，则点C的坐标为(___－1__，__ 第6题图 　　第7题图 7. 如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的长是____． 8．如图，∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，并且BD＝DC.求证：AD平分∠EAC. 证明：∵∠EAD＋∠BAD＝180°， ∠DCB＋∠BAD＝180°， ∴∠EAD＝∠DCB. ∵BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB. 又∵∠DBC＝∠DAC， ∴∠EAD＝∠DAC， 即AD平分∠EAC. 【精英乐园】 9．(中考·天津)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D. (1)如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长； (2)如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长． 解：(1)如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°.∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6