2.3 垂径定理-2018年九年级下册数学名师学案（湘教版）

*2.3　垂径定理 ●名师导学 垂径定理中“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，还可以是经过圆心的线段或直线；利用垂径定理可以得到下面结论；若一条直线满足以下条件中的两个，则可以推出其他三个：①过圆心；②垂直于一条弦；③平分一条弦(不是直径)；④平分弦所对的两优弧；⑤平分弦所对的劣弧． ●名题引路 【例】　如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且AC.，作DE⊥AB，E为垂足，求证：DE＝＝ 分析：要证明DE＝得到． ＝AC，即证明AC＝2DE，可考虑找出一个等于2DE的线段，这样就有了延长DE交⊙O于点D′的想法，由于DE⊥AB，由垂径定理知DD′＝2DE，而证明DD′＝AC，可由证明 证明：延长DE交⊙O于点D′， ∵AB⊥DE， ∴.＝ 又∵.＝ ∴， ＋＝＋ ∴，∴AC＝DD′＝ 又∵2DE＝DD′ ∴2DE＝AC 即DE＝AC. ●易错警示 求圆内两平行弦之间的距离时，若弦所在的位置不确定，需分类讨论，否则会产生漏解情况．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．垂直于弦的直径，平分__这条弦__，并且平分__弦所对的两条弧__．[来源:Zxxk.Com] 2．用数学符号语言表述垂径定理： 如图，∵AB是直径，AB⊥CD， ∴CE＝__DE__，__．＝____，＝__ ● 　垂径定理[来源:学|科|网] 1．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，若AB＝2，OC＝1，则半径OB＝__2__. 第1题图 　　第2题图 　　第3题图 [来源:学科网] 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝6 cm，则OE＝__4__cm. 3．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB是(C) A．正方形 B．长方形 C．菱形 D．以上答案都不对 ● 　垂径定理的实际运用 4．如图，圆弧形桥拱的跨度AD＝12 m，拱高CB＝4 m，则拱桥的直径为(C) A．6.5 m B．9 m C．13 m D．15 m 5．如图是某公园新建的圆形人工湖．为测量该湖的半径，小强和小丽沿湖边选取A，B，C三根木桩，使得A，B之间的距离与B，C之间的距离相等，并测得B到AC的距离为3 m，AC的长为60 m，请你帮他们求出人工湖的半径． 解：设点O为圆心，连接半径OA、OB，设OB交AC于点D.则OB⊥AC，AD＝CD＝30 m. 设OA＝x m，则有x2－(x－3)2＝302， 解得x＝151.5. 答：人工湖的半径为151.5 m. 1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么线段OE的长为(C) A．5 B．4 C．3 D．2 第1题图 　　　第2题图 2．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是(C) A．∠COE＝∠DOE B．CE＝DE C．OE＝BE D.＝ 3．一条公路弯道处是一段圆弧(图中的弧AB)，点O是这条弧所在的圆的圆心，点C是的中点，半径OC与AB相交于点D，AB＝120 m，CD＝20 m，这段弯道的半径是(C) A．200 m B．200 m C．100 m D．100 m 4．(易错题)已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则AB，CD之间的距离为(D) A．17 cm B．7 cm C．12 cm或7 cm D．17 cm或7 cm 5．如图，⊙O的半径OD垂直弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为(D) A．2 B．8 C．2 D．2 第5题图 　　　第6题图 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为(C) A. D. C. B. 7．如图，AB，AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝3，那么BC等于__6__． 第7题图 　　　第8题图 8．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝16 cm，则球的半径为__10__cm. 9．高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝10 m，净高CD＝7 m，求此圆的半径OA的长． 解：CD⊥AB，由垂径定理得AD＝5 m，设圆的半径为r m， 在Rt△ADO中，由勾股定理得OD2＋AD2＝OA2， 即(7－r)2＋52＝r2.解得r＝. 答：此圆的半径OA长为 m. 【精英乐园】 10．如图，∠MAN＝30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD＝x，当x为何值时，⊙O与AM相交于