第11章 11.4 算法案例（分层训练）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（湘教版必修5）

11.4　算法案例 一、基础达标 1．下列说法中正确的个数为(　　) ①辗转相除法也叫欧几里得算法；②辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；③求最大公约数的方法，除辗转相除法之外，没有其他方法；④编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句． A．1B．2C．3D．4 答案　C 解析　①、②、④正确，③错误． 2．1037和425的最大公约数是(　　) A．51B．17C．9D．3 答案　B 解析　∵1037＝425×2＋187， 425＝187×2＋51， 187＝51×3＋34， 51＝34×1＋17， 34＝17×2， 即1037和425的最大公约数是17. 3．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是(　　) A．6,6B．5,6C．5,5D．6,5 答案　A 解析　秦九韶算法中最多需用加法和乘法的次数，由多项式的次数n可知，∴选A. 4．4830与3289的最大公约数为(　　) A．23B．35C．11D．13 答案　A 解析　4830＝1×3289＋1541； 3289＝2×1541＋207； 1541＝7×207＋92； 207＝2×92＋23；92＝4×23； ∴23是4830与3289的最大公约数． 5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝5时的值时，需要进行的乘法运算和加减运算的次数分别为(　　) A．4,2B．5,3C．5,2D．6,2 答案　C[来源:学*科*网Z*X*X*K] 解析　f(x)＝4x5－x2＋2＝((((4x)x)x－1)x)x＋2，所以需要5次乘法运算和2次加减运算． 6．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为(　　) A．27B．11C．109D．36 答案　D 解析　将函数式化成如下形式． f(x)＝((((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1 由内向外依次计算： v0＝1， v1＝1×3＋0＝3， v2＝3×3＋2＝11， v3＝11×3＋3＝36. 7．(1)用辗转相除法求288与123的最大公约数． (2)用更相减损术求57与93的最大公约数． 解　(1)288＝123×2＋42,123＝42×2＋39， 42＝39×1＋3,39＝3×13， ∴288和123的最大公约数是3. (2)(93,57)→(36,57)→(36,21)→(15,21)→(15,6)→(9,6)→(3,6)→(3,3)， ∴93与57的最大公约数是3. 二、能力提升 8．按秦九韶算法，多项式f(x)＝4x6＋2x5＋3.5x4＋3x3－2.5x2＋2x－750，当x＝3时的值为(　　) A．3750B．3000C．2570D．3570 答案　B 解析　v0＝4， v1＝4×3＋2＝14， v2＝14×3＋3.5＝45.5， v3＝45.5×3＋3＝139.5， v4＝139.5×3－2.5＝416， v5＝416×3＋2＝1250， v6＝1250×3－750＝3000. 9．三个数72,120,168的最大公约数是． 答案　24 解析　∵120＝72×1＋48， 72＝48×1＋24， 48＝24×2， ∴120与72的最大公约数是24. 又∵168＝24×7， ∴168与24的最大公约数是24. ∴72,120,168的最大公约数是24. 10．用秦九韶算法求函数f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4，当x＝－1时的值时，v2的结果是． 答案　6 解析　此题的n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1， 由秦九韶算法的递推关系式(k＝1，2，…，n)，得v1＝v0x＋a3＝2×(－1)－3＝－5. v2＝v1x＋a2＝－5×(－1)＋1＝6.[来源:Z|xx|k.Com] 11．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值． 解　f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以v0＝7， v1＝7×3＋6＝27， v2＝27×3＋5＝86， v3＝86×3＋4＝262， v4＝262×3＋3＝789， v5＝789×3＋2＝2369， v6＝2369×3＋1＝7108， v7＝7108×3＝21324. 故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21324. 三、探究与创新 12．有甲、乙、丙三种溶液分别重147g,343g,133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，每瓶最多装多少克溶液？ 解　每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数，先求147和343的最大