专题突破01 勾股定理的应用-2018年八年级下册数学名师学案（湘教版）

专题突破(一) 勾股定理的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 类型 一 　利用勾股定理求直角三角形斜边上的高 [解题技巧]　此类题目一般利用面积法来解：先用两种方法分别计算同一图形的面积，然后利用两个面积相等列出一个方程，进而求出未知数的值. [例1]　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，CD⊥AB于点D，求CD的长. [分析归纳]　△ABC的面积有两种计算方法.第一种S△ABC＝AC·BC.由于是同一三角形，所以面积相等.条件中没有AC，可以先利用勾股定理求出AC，即可求出CD的长.AB·CD；第二种S△ABC＝ 解：△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，则由勾股定理，得AC2＝AB2－BC2， ∴AC＝＝4(cm).＝ 又∵S△ABC＝AC·BC， AB·CD＝ ∴CD＝(cm).＝＝ 1.如图：在Rt△ABC中，∠ACB＝ 90°，CD是高，AC＝8 cm，BC＝6 cm，则CD＝(B) A.10 cm B. cm C. cm[来源:学科网ZXXK] cm D. 类型 二 　构造直角三角形求线段长或边长 [解题技巧]　利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合已知条件，采用推理或列方程的方法解决问题. [例2]　如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10.求BC的长. [分析归纳]　如图，过点A作AD⊥BC，图中会出现两个直角三角形——Rt△ACD和Rt△ABD，这两个直角三角形有一条公共边AD，借助这条公共边可建立起直角三角形之间的联系. 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D. ∵∠ADC＝90°，∠C＝60°， ∴∠CAD＝30°，∴CD＝AC＝5. 在Rt△ACD中，AD＝.＝5＝ 在Rt△ABD中，BD＝＝11.＝ ∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16. 2.(中考·荆门)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(C) A.5 B.6 C.8 D.10 类型 三 　利用勾股定理解决折叠问题 [解题技巧]　关于折叠问题，要抓住折叠前后的对应边相等，对应角相等，利用重合的图形得出所需对应边、角相等，选择合适的直角三角形，利用勾股定理列方程求解.[来源:学§科§网Z§X§X§K] [例3]　如图，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的F处.已知AB＝CD＝8 cm，BC＝AD＝ 10 cm，求EC的长. [分析归纳]　(1)设未知线段EC的长为x；(2)用已知数或含x的代数式表示出其他线段的长；(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；(4)解这个方程，从而求出所求线段的长. 解：根据题意，得△AFE≌△ADE，[来源:Zxxk.Com] ∴AF＝AD＝10 cm，EF＝ED，AB＝8 cm，EF＋EC＝DC＝8 cm. 在Rt△ABF中，根据勾股定理，得 AF2＝AB2＋BF2， 即102＝82＋BF2，∴BF＝6 cm， ∴FC＝BC－BF＝4 cm. 设EC＝x cm，则EF＝DC－EC＝(8－x)cm. 在Rt△EFC中，根据勾股定理，得 EC2＋FC2＝EF2，即x2＋42＝(8－x)2. 解这个方程，得x＝3，[来源:学_科_网] 即EC的长为3 cm， 3.(中考·黄冈)如图，在长方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a，将长方形沿直线EF折叠.使点C恰好落在AD边上的点P处.则PD＝__a__. 类型[来源:Z&xx&k.Com] 四 　利用勾股定理解决最短路线问题 [解题技巧]　求几何体表面的最短路线的长的方法：将空间图形的侧面 (或表面)展开成平面图形，然后利用勾股定理求解. [例4]　如图，正四棱柱的底面边长为1.5 cm，侧棱长为4 cm，求一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱的表面爬到C1处的最短路程的长. [分析归纳]　要求最短路程，需要将正四棱柱展开成平面图形，再利用勾股定理求解，由于从点A到点C的较短路线所经过的面有两种情况，故需分类讨论.将正四棱柱展开成平面图形，从图(1)(2)中分别求得AC1，然后再比较其大小. 解：如图(1)AC＝(1.5＋1.5)2＋42＝25＝52.＝AC2＋CC 如图(2)AC＝1.52＋(4＋1.5)2＝1.52＋ 5.52.＝AB2＋BC ∵52<1.52＋5.52， ∴这只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱的表面爬到C1处的最短路程的长为5 cm. 4.如图，是一个全封闭的圆柱体食品盒，高为10 cm，底面半径为4 cm，P