2018-2019新设计数学人教A版必修4（课件+讲义+习题）：第三章　三角恒等变换(函数主线) (共13份打包)

§3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1　两角差的余弦公式 内容要求　1.了解两角差的余弦公式的推导过程，理解用向量法导出公式的主要步骤(难点).2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算(重点)． 知识点　两角差的余弦公式 公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β　 简记符号 C(α－β)　 使用条件 α，β都是任意角　 【预习评价】 (1)cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14°的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析　原式＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝． 答案　C (2)已知α是锐角，sin α＝－α)＝________． ，则cos( 解析　因为α是锐角，sin α＝，，所以cos α＝ 所以cos(． ＝×＋×sin α＝cos α＋sin－α)＝cos 答案　 题型一　两角差的余弦公式的正用和逆用 【例1】　(1)cos(－15°)的值是(　　) A． B． C． D． (2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________． (3)＝________． 解析　(1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝． ＝×＋× (2)原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－35°－25°)＝cos(－60°)＝cos 60°＝． (3)原式＝ ＝ ＝． ＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝ 答案　(1)D　(2)　(3) 规律方法　运用两角差的余弦公式求值的注意点 (1)要深刻理解所用公式的特征、恰当地套用公式， (2)在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题，然后利用公式化简求值． 【训练1】　求下列三角函数式的值： (1)sin；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°． 解　(1)原式＝cos()]－(－＝cos[)＝cos－ ＝cos． )＝sin(－)＋sincos(－ (2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0． 题型二　给值求值 【例2】　设cos． ，求cos，β∈，其中α∈＝，sin＝－ 解　因为α∈． ，β∈ 所以α－． －β∈，∈ 因为cos，＝，sin＝－ 所以sin＝ ＝，＝ cos． ＝＝＝ 所以cos＝cos ＝cossin＋sincos ＝－． ＝×＋× 规律方法　给值求值问题的解题策略 (1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换． (2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．＋ 【训练2】　已知sin α＝，求cos(α－β)的值． ，β∈，cos β＝－，α∈ 解　∵α∈，，sin α＝ ∴cos α＝－． ＝－ 又β∈，，cos β＝－ ∴sin β＝－． ＝－ ∴cos(α－β)＝cos αcosβ＋sin αsinβ ＝×＋× ＝． 典例 迁移 　题型三　给值求角 【例3】　已知cos α＝，求β的值． ，且α，β∈，cos(α＋β)＝－ 解　∵α，β∈，，cos(α＋β)＝－且cos α＝ ∴α＋β∈(0，π)，∴sin α＝，＝ sin(α＋β)＝． ＝ 又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝． ＝×＋× 又∵β∈． ，∴β＝ 【迁移1】　若例3条件中的“cos(α＋β)＝－”，则β的值是什么？ ”改为“sin(α＋β)＝ 解　∵α，β∈(0，)，∴α＋β∈(0，π)， ∵cos α＝，，sin(α＋β)＝ ∴sin α＝，，cos(α＋β)＝± 当cos(α＋β)＝－，＝×＋×时，cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－ ∵β∈(0，；)，∴β＝ 当cos (α＋β)＝)，)，β∈(0，＝cos(α＋β)，且α＋β∈(0，<＝×＋×时，cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)sin α＝ 所以β>α＋β，即α<0，与已知矛盾，舍去，所以β＝． 【迁移2】　在例3的条件下，若γ∈(0，，求cos(β－γ)． )，sin γ＝ 解　由例3知β＝， 又∵γ∈(