2018-2019新设计数学人教A版必修4（课件+讲义+习题）：第二章　平面向量(几何与代数主线) (共23份打包)

章末复习课 网络构建 核心归纳 1．五种常见的向量 (1)单位向量：模为1的向量． (2)零向量：模为0的向量． (3)平行(共线)向量：方向相同或相反的向量． (4)相等向量：模相等，方向相同的向量． (5)相反向量：模相等，方向相反的向量． 2．两个重要定理 (1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa． (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底． 3．两个非零向量平行、垂直的等价条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： (1)a∥b⇔a＝λb(λ≠0)⇔x1y2－x2y1＝0， (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0． 4．平面向量的三个性质 (1)若a＝(x，y)，则|a|＝． ＝ (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|． |＝ (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝． ＝ 5．向量的投影 向量a在b方向上的投影为|a|cos θ＝. 6．向量的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a，a·b＝b·a． (2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c，a－b－c＝a－(b＋c)，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，(a＋b)·c＝a·c＋b·c． (4)重要公式：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2a·b＋b2． 要点一　平面向量的线性运算及应用 向量线性运算的基本原则和求解策略 (1)基本原则： 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面． (2)求解策略： ①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧． ②字符表示下线性运算的常用技巧： 首尾相接用加法的三角形法则，如． ＝－；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如＝＋ ③平行向量(共线向量)、相等向量与相反向量、单位向量等，理解向量的有关概念并进行恰当地应用． ④注意常见结论的应用．如△ABC中，点D是BC的中点，则． ＝2＋ 【例1】　(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则2a－b的结果是(　　) A．(7，－2) B．(1，－2) C．(1，－3) D．(7,2) 解析　∵a＝(2,1)，b＝(－3,4)，∴2a－b＝2(2,1)－(－3，4)＝(4,2)－(－3,4)＝(4＋3,2－4)＝(7，－2)，故选A． 答案　A (2)设D为△ABC所在平面内一点，则，则(　　) ＝3 A．－＝ B．＋＝－ C．＋＝－ D．－＝ 解析　∵． －＝，∴－＝3)，∴2－＝3(－，∴＝3 答案　D 【训练1】　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝c． ＝b，＝a， (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n． 解　由已知得a＝(5，－5)， b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，a＝mb＋nc， 所以解得 要点二　平面向量的数量积运算 向量数量积的两种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． 运用两向量的数量积解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解． 【例2】　 (1)如图所示，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则()＝________； ＋)·(＋ 解析　由于，＋＝，＋＝ 所以． －＝＋＋＋＝＋ () ＋)·(－)＝(＋)·(＋ ＝||2＝9－4＝5． |2－| 答案　5 (2)在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝的取值范围为________． ·，则 解析　以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)，则C(0,0)，A(2,0)，B(0,2)，所以直线AB的方程为x＋y－2＝0.设M(t,2－t)，因为MN＝． 的取值范围为·.因为0≤t≤1.所以2＋＝t(t＋1)＋(2－t)(1－t)＝2t2－2t＋2＝2·，所以N(t＋1,1－t)(0≤t≤1)