2018年秋人教版七年级上册第四章几何图形初步：4.3 角的计算和证明能力提高 讲义(学生版+教师版)

初一数学能力提高培优 1. 角的定义、表示方法、分类． 2. 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，这条射线叫做这个角的角平分线． 3. 余角和补角 余角：如果两个角的和等于 ，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 补角：如果两个角的和等于 ，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 两个基本定理：① 同角（或等角）的余角相等．②同角（或等角）的补角相等． 注意：暑期班提及过余角、补角、角分线相关知识但只是简单介绍，本讲深入了解，并让学生熟练掌握．对于角的基本概念、分类和表示方法等相关知识这里不再重复讲解，建议教师根据班级情况自行讲解. 【例1】 ⑴ 如果 ，而 与 互余，那么 与 的关系为（　　） A．互余 B．互补 C．相等 D．不能确定 ⑵ 已知 是锐角， 与 互补， 与 互余，则 的值等于（　　） A． B． C． D． ⑶如果 和 互补，且 ，则下列表示 的余角的式子中：① ； ② ；③ ；④ ．正确的有（　　） A． 4个 B．3个 C．2个 D．1个 ⑷ 一个角的余角的 倍和它的补角的 互为补角，求这个角的度数． 【铺垫】⑴ 下列说法：①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；④锐角和钝角互补．其中正确的说法有（ ） A． 4个 B．3个 C．2个 D．1个 ⑵ 下列说法中，正确的是（　　） A．一个角的补角必是钝角 B．两个锐角一定互为余角 C．直角没有补角 D．如果 ，那么 ， ， 三点在一条直线上 ⑶ 下列语句正确的是（　　） A．钝角与锐角的差不可能是钝角 B．两个锐角的和不可能是锐角 C．钝角的补角一定是锐角 D． 和 互补（ ），则 是钝角或直角 【备选】⑴ 若一个角的余角是 ，则这个角是（ ） A． B． C． D． ⑵ 互为补角的两个角度比是 ，这两个角是（　　） A． ， B． ， C． ， D． ， ⑶ 对于互补的下列说法中：①∠A+∠B+∠C=90°，则∠A、∠B、∠C互补；②若∠1是∠2的补角，则∠2是∠1的补角；③同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ⑷如图， ， ， 在一条直线上， 是锐角，则 的余角是（ ） A． B． C． D． 【例2】 ⑴ 如右图，已知直线 、 相交于点 ， 平 分 ， 若 ，则 的度数是（ ） A． B． C． D． ⑵ 如右图，分别在长方形ABCD的边DC、BC上取两点E、F， 使得AE平分∠DAF，若∠BAF = 60°，则∠DAE =（ ）． A．15° B．30° C．45° D．60° ⑶ 如右图， 平分 ， 平分 ，若 ， ，求 . 【解析】 ⑴ C；⑵ A；⑶ ． 【例3】 如图所示， 是 的平分线， 是 的平分线， ⑴ 如果 ， ，求出 的度数； ⑵ 如果 ，求出 的度数； ⑶ 如果 的大小改变， 的大小是否随之改变? 它们之间有怎样的大小关系?请写出来. 【拓展】已知点 是直线 上的一点， ， 是 的平分线． ①当点 ， ， 在直线 的同侧（如图1所示）时．试说明 ； ②当点 与点 ， 在直线 的两旁（如图2所示）时，①中的结论是否仍然成立？请 给出你的结论并说明理由； ③将图2中的射线 绕点 顺时针旋转 ，得到射线 ．设 ， 若 ，则 的度数是　　 （用含 的式子表示）． 定 义 示例剖析 角度计算的分类讨论 在平面上，已知角的一边和角度大小则角的另一边因为旋转有两种方向会产生不确定性． 角的计数问题 在计算角的个数时一种方法是按一定顺序累加，固定角的一边，数出另一边共有多少个． 另一种方法是使用排列组合知识． 【例4】 ⑴ 一条射线 ，从点 再引两条射线 与 ，使 ， ，则 ． ⑵ 已知 ，从 点引射线 ，若 ，求 与 的平分线所成的角的度数为 ． ⑶ 若 ， ， ，求 的度数． 【例5】 如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有 个角；画2条射线， 图中共 有 个角；画3条射线，图中共有 个角，求画 条射线所得