2018年秋人教版七年级上册第四章几何图形初步： 4.2 直线、射线、线段能力提高 讲义(学生版+教师版)

初一数学能力提高培优 平面几何是训练人们思维能力的最好方法之一，早在公元前四世纪，古希腊哲学家柏拉图曾在他设立的哲学科学院的大门上写着：“不懂几何的人不准入内”；二十世纪最伟大的科学家爱因斯坦说：如果几何不能激起你年轻的热情，那么你就不会成为一个科学家．” 在平面图形中我们接触最多的基本元素就是点和线，在几何图形中，点无大小，线无宽窄，他们都是抽象思维的产物，点与线有着密切的联系，点运动成线，线与线相交的地方也就是点，一条线确定了两个端点，线的长短也就确定了，从这个意义上讲，点是线的界线． 在线中，最简单常见的就是直线、射线、线段，它们是最基本的图形，它们的概念、性质及画图是今后研究由直线所组成的比较复杂图形（如三角形、四边形）的基础．相关问题常涉及以下知识与方法： 1. 直线、射线与线段的区别与联系 2. 线段中点概念 3. 枚举法，分类讨论法 注意：有关直线、射线、线段的基础知识为暑期班讲解内容这里不再重复讲解，教师根据班级情况补充讲解，建议先练习学案1复习暑期班知识后再讲解例题. 【引例】 如图，在直线PQ上要找一点C，且使 ，则点C应在（ ）． A．PQ之间找 B．在点P左边找 C．在点Q右边找 D．在PQ之间或在点Q的右边找 【例1】 ⑴ 如图，已知点 在线段 上，线段 ， ，点 、 分别是线段 、 的中点，求线段 的长． ⑵ 对于①题，如果我们这样叙述它：已知点 在直线 上，线段 ， ，点 、 分别是线段 、 的中点，求线段 的长，结果如何？请画出示意图，并直接写出 的长． 【例2】 阅读：在用尺规作线段 等于线段 时，小明的具体做法如下： 已知：如图，线段 ． 求作：线段 ，使得线段 ． 作法：① 作射线 ； ② 在射线 上截取 ． ∴线段 为所求． 解决下列问题： 已知：如图，线段 ． ⑴ 请你仿照小明的作法，在上图中的射线 上作线段 ，使得 ；（不要求写作法和结论，保留作图痕迹） ⑵ 在⑴的条件下，取 的中点 .若 ，求线段 的长.（要求：第⑵问重新画图解答） 【例3】 ⑴ 已知 ， ， 三点在同一直线上，线段 ， 是线段 的中点，且 ， 则线段 的长等于 . ⑵ 已知 ， ， ， 四点共线，若 ， ， ，画出图形，求 的长． 【备选题】 【备选1】若点A、B、C在一条直线上，线段AB=8cm，AC=4cm，则线段BC的长为（ ） A．12cm B．4cm C．12cm或4cm D．从4cm到12cm中任意数 【备选2】已知线段 ， 是直线 上一点，且 ， 、 分别是 、 的中 点，则线段 的长为 ． 【备选3】线段上有两点、，，，，求的长． 【备选4】⑴如图，点C、D在线段AB上，点C为AB中点，若 ， ，则 _______ ． ⑵如图，已知 ， 是线段 上的任意两点， 是 的中点， 是 的中点，若 ， ，那么 的长度为 ． 【拓展】⑴若点C是线段AB上任意一点，且AC=a，BC=b，点M、N分别是AC、BC的中点，请直接写出线段MN的长度；（用a、b的代数式表示） ⑵在⑴中，把点C是线段AB上任意一点改为：点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果． 从简单情形入手，由简入繁，归纳发现规律，是解决计数问题的关键． 【例4】 当一条直线上有 个点时，图中共有射线________条，线段_______条； 当一条直线上有 个点时，图中共有射线________条，线段_______条； 当一条直线上有 个点时，图中共有射线________条，线段_______条； 当一条直线上有 个点时，图中共有射线________条，线段_______条； …… 当一条直线上有 个点时，图中共有射线________条，线段_______条． 【例5】 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为多少个？最多为多少个？ 条直线两两相交最多有多少个交点？ 【解析】 6条直线两两相交最少的交点个数是1个；最多有15个交点． 对于 条直线两两相交交点最多的情况，我们不妨从简单情况入手，画图探索规律， 从中发现规律，平面内 条直线两两相交最多有： 个交点， 【例6】 条直线最多可将平面分成 部分； 条直线最多可将平面分成 部分； 条直线最多可将平面分成 部分； 条直线最多可将平面分成 部分； 条直线最多可将平面分成几部分？ 说明理由！ 【拓展】如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之