基础备战15 相似图形-2018年中考数学《抢分计划》1-6月复习专号（人教版）

书书书 （２）ＡＥ＝２ＣＭ＋ＢＥ． 理由：因为△ＡＣＢ和△ＤＣＥ均为等腰直角三角形，∠ＡＣＢ ＝∠ＤＣＥ＝９０°， 所以 ＡＣ＝ＢＣ，ＣＤ＝ＣＥ，∠ＡＣＢ－∠ＤＣＢ＝∠ＤＣＥ－ ∠ＤＣＢ，即∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ． 所以△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ． 所以ＡＤ＝ＢＥ，∠ＢＥＣ＝∠ＡＤＣ＝１３５°． 所以∠ＡＥＢ＝∠ＢＥＣ－∠ＣＥＤ＝１３５°－４５°＝９０°． 在等腰直角三角形 ＤＣＥ中，ＣＭ为斜边 ＤＥ上的高，所以 ＣＭ＝ＤＭ＝ＭＥ．所以ＤＥ＝２ＣＭ． 所以ＡＥ＝ＤＥ＋ＡＤ＝２ＣＭ＋ＢＥ． ２．（１）ＡＦ＝ＢＥ，ＡＦ⊥ＢＥ． （２）结论成立． 证明：因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以ＢＡ＝ＡＤ＝ＤＣ， ∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＣ＝９０°． 在△ＥＡＤ和△ＦＤＣ中， ＥＡ＝ＦＤ， ＥＤ＝ＦＣ， ＡＤ＝ＤＣ { ， 所以△ＥＡＤ≌△ＦＤＣ．所以∠ＥＡＤ＝∠ＦＤＣ． 所以∠ＥＡＤ＋∠ＤＡＢ＝∠ＦＤＣ＋∠ＣＤＡ，即 ∠ＢＡＥ＝ ∠ＡＤＦ． 在△ＢＡＥ和△ＡＤＦ中， ＢＡ＝ＡＤ， ∠ＢＡＥ＝∠ＡＤＦ， ＡＥ＝ＤＦ { ， 所以△ＢＡＥ≌△ＡＤＦ．所以ＢＥ＝ＡＦ，∠ＡＢＥ＝∠ＤＡＦ． 因为∠ＤＡＦ＋∠ＢＡＦ＝９０°，所以∠ＡＢＥ＋∠ＢＡＦ＝９０°， 所以ＡＦ⊥ＢＥ． ３．（１）由折叠性质可得，四边形ＡＤＦＥ是正方形． 所以ＤＥ＝ ＡＤ２＋ＡＥ槡 ２ ＝ ２０２＋２０槡 ２ ＝ 槡２０２（ｃｍ）． （２）由折叠性质可得，ＤＧ＝ １２ＡＤ＝ １ ２ＤＦ＝１０ｃｍ． 所以在Ｒｔ△ＤＧＦ中，∠ＧＦＤ＝３０°，∠ＧＤＦ＝６０°． 因为∠ＡＤＥ＝∠ＥＤＦ，所以∠ＥＤＡ＝３０°． 因为在Ｒｔ△ＡＤＥ中，ｔａｎ∠ＥＤＡ＝ＡＥＡＤ， 所以ＡＥ＝ＡＤ·ｔａｎ３０°＝ 槡２０３３ ｃｍ． 所以Ｓ△ＤＥＦ ＝Ｓ△ＡＤＥ ＝ １ ２ＡＥ·ＡＤ＝ １ ２ × 槡２０３ ３ ×２０＝ 槡２００３ ３ （ｃｍ ２）． （３）重叠四边形ＭＮＰＱ是菱形． 证明：因纸片都是矩形， 则重叠四边形的对边互相平行，则四边形ＭＮＰＱ是平行四 边形． 如图１４，过点Ｑ作 ＱＬ⊥ ＮＰ于点 Ｌ，ＱＫ⊥ＮＭ于点Ｋ． 因为 ＳＭＮＰＱ ＝ＰＮ·ＱＬ＝ＭＮ· ＱＫ， 又因为ＱＬ＝ＱＫ，所以ＮＰ＝ＭＮ． 所以四边形ＭＮＰＱ是菱形． （４）存在，最大周长为５８ｃｍ． 当矩形纸片如图１５所示放置时， 此时菱形周长最大． 设ＱＰ＝ｘｃｍ，则ＰＮ＝ｘｃｍ，ＨＰ＝ （２５－ｘ）ｃｍ． 在Ｒｔ△ＰＨＮ中，ｘ２＝（２５－ｘ）２＋ １０２． 解得ｘ＝１４．５．所以４ｘ＝５８． 此时菱形的周长最大，为５８ｃｍ． 《命题与尺规作图》跟踪训练 １．Ｂ；　２．Ａ； ３．如①②④； ４．（１）如图１６所示，ＤＥ就是要 求作的ＡＢ边上的中垂线； （２）证明：因为ＤＥ是ＡＢ边上的 中垂线，∠Ａ＝３０°， 所以ＡＤ＝ＢＤ． 所以∠ＡＢＤ＝∠Ａ＝３０°． 因为∠Ｃ＝９０°， 所以∠ＡＢＣ＝９０°－３０°＝６０°． 所以∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＣ－∠ＡＢＤ＝６０°－３０°＝３０°． 所以∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ． 所以ＢＤ平分∠ＣＢＡ． 《命题与尺规作图》抢分演练 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｄ Ｄ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｄ Ｄ Ｄ 二、１１．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全 等，假；　１２．②；　１３．以点Ｅ为圆心，ＥＦ长为半径画弧；　１４． ①②④③或②③④①；　１５．２；　１６．１３６． 三、１７．图略． １８．（１）如图１７，射线ＣＭ即为所求． （２）因为∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＣ，∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＣ， 所以△ＡＣＤ∽△ＡＢＣ． 所以 ＡＤ ＡＣ＝ ＡＣ ＡＢ，即 ＡＤ ６ ＝ ６ ９． 所以ＡＤ＝４． １９．（１）如图１８，则⊙Ｐ为所求作的圆． （２）因为∠ＡＢＣ＝６０°，ＢＰ平分∠ＡＢＣ，所以∠ＡＢＰ＝３０°． 因为ｔａｎ∠ＡＢＰ＝ＡＰＡＢ，ＡＢ＝３， 所以ＡＰ＝槡３．所以Ｓ⊙Ｐ ＝π·（槡３） ２ ＝３π． ２０．（１）如图１９． （２）由（１）知 ＡＥ＝ＡＤ ＝１０， ∠ＤＡＦ＝∠ＥＡＦ． 因为ＡＢ＝６， 所以ＢＥ＝ ＡＥ２－ＡＢ槡 ２ ＝８． 在△ＤＡＦ和△ＥＡＦ，因为 ＡＤ＝ＡＥ， ∠ＤＡＦ＝∠ＥＡＦ， ＡＦ＝ＡＦ { ， 所以△ＤＡＦ≌△ＥＡＦ（ＳＡＳ）． 所以∠Ｄ＝∠ＡＥＦ＝９０°． 所以∠ＢＥＡ＋∠ＦＥＣ＝９０°． 又因为∠ＢＥＡ＋∠ＢＡＥ＝９０°，所以∠ＦＥＣ＝∠ＢＡＥ． 所以ｔａｎ∠ＦＥＣ＝ｔａｎ∠ＢＡＥ＝ＢＥＡＢ＝ ８ ６ ＝ ４ ３． ２１．（１）如图２０，点Ｏ即为所求； （２）如图２１，六边形ＤＥＦＧＨＩ即为所求正六边形．（提示： 分别在ＢＣ，ＣＡ上截取ＢＦ＝ＣＨ＝ＡＤ，连接ＤＦ，ＦＨ，ＨＤ，作ＤＦ， ＦＨ，ＨＤ的垂直平分线，再以Ｏ为圆心，ＯＤ为半径作圆，圆与垂 直平分线的交点即为点Ｅ，