浙教版九年级数学上册第四章 比例线段及黄金分割（提高） 知识讲解

相似形和比例线段（提高） 知识讲解 【学习目标】 1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段； 2、会运用比例线段解决简单的实际问题； 3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点. 【要点梳理】 要点一、比例线段 1． 成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 2．比例的性质： （1）基本性质：若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）合比性质：如果 如果 （3）等比性质：如果 （4）比例中项：若a:b=b:c ，则 =ac，b称为a、c的比例中项． 要点诠释： （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 要点四、黄金分割 1.定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果 ,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点诠释： ≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 图4－7 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD= AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 要点诠释： 一条线段的黄金分割点有两个. 【典型例题】 类型一、比例线段 1. 求证：如果，那么.　　　 【答案与解析】 ∵，　　　　　　　 在等式两边同加上1， 　　　　　　　 ∴　， 　　　　　　　 ∴　． 　　　　　　　　∴　． 【总结升华】这是比例的合比性质，利用等式的性质得到证明. 举一反三： 【变式】（2015春•扶沟县期中）若=，则=（　　）. A. B. C. D. 无法确定 【答案】C. 2. 已知： ．求k值． 【思路点拨】可分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况代入求值和利用等比性质求解. 【答案与解析】①当a+b+c=0时， b+c=-a，c+a=-b，a+b=-c， ∴k为其中任何一个比值，即k= =-1; ②a+b+c≠0时， k= ． ∴k=-1或 . 【总结升华