山东泰安市泰山区上高街道办事处上高中学九年级数学上册：第二章解直角三角形的应用 学案 (2份打包)

解直角三角形问题的两个数学模型   　　有一些涉及直角三角形的问题，常常需要通过建立各种数学“模型”来解决，这是一种十分重要的思想方法.现举例说明. 　　模型1　如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ADC=60°，∠B=45°，BD=10，求AC的长. [来源:Z_xx_k.Com] 说明　此类问题的特征是：具有公共直角的两个直角三角形，并且它们均位于直角边的同侧. 　　解法1　在△ADC中，由，即，∴ 　　解法2　在△ADC中，设CD=x，则.由BC-CD=BD，得，∴， 推广1　如图2，小山上有一电视塔CD，由地面上一点A，测得塔顶C的仰角为30°，由A向小山前进100米到B点，又测得塔顶C的仰角为60°，已知CD=20米，求小山高度DE. 　　分析　本题可利用模型1，先求得米， 　　再求得 想一想：①如果在A、B二处均使用了测量仪，且测量仪高为1.2米时，该怎样求山高？②将此问题改为测河宽CD时，在河一侧岸边设观测点A、B、E，并使CE⊥AE，则求解过程是否完全雷同？ 推广2　如图3，有长为100m的大坝斜坡AB，坡角α=45°，现要改造成坡角β=30°，求伸长的坡度DB的长. 　　分析　此题的条件只不过是在模型1中稍加变化而已. 　　解　在Rt△ABC中求得又在Rt△ADC中，，∴[来源:学科网] 推广3　如图4，船自西向东航行，在A处测得小岛S在船北偏东60°，船航行10海里到B处，又测得小岛S在船北偏东45°，在小岛S的周围有半径为12海里的暗礁区，如果船不改变航向，继续前进时有无危险，为什么？ 　　分析　由题设可知[来源:学科网ZXXK] 　　∠SAB=30°，∠SBD=45°，则可归结为模型1的问题，求得. 　　∵SD＞12，∴船不会有危险.[来源:学科网] 　　(另外，此问题还可将AB=10改变为船速v=40海里/小时，船自A行驶15分钟后到达B点.) 模型2　如图5，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求AB和BC. 　　说明　此类问题的特点是：通过作三角形一条边上的高，可将原来的斜三角形化成两个直角三角形来求解. 　　解　作AD⊥BC于D，则(或AD=ACsin45°). 　　∴(或)，[来源:学科网] 　　BD=ADcot30°=. 　　∴. 推广1　如图6，在平地上有二幢楼AB及CD相距60米，在A处测得CD底部的俯角为30°，又测得CD顶部的仰角为45°，求CD的高. 　　解　在Rt△ADE中，求得在Rt△ACE中，求得CE=AE=60. 　　∴ 推广2　如图7，厂房屋架为等腰三角形，倾角为30°，跨度AB为15米，求中柱CD和屋面AC的长. 　　解　在Rt△ACD中，∠A=30°，， 　　∴ 　　推广3　如图8，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是7米，测得斜坡坡度为1:3.5，求斜坡上相邻两树间的坡面距离. 　　解　此问题即在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，tan∠BAC=1:3.5=，求AB. 　　由于AC=7，故BC=2，由勾股定理便可求得 $$ 总第 课时 【课题】三角函数的应用（1） 【课型】新授 【学习目标】（学什么？怎么学？学到什么程度？） 1、了解仰角、俯角的概念，能应用解直角三角形解决一类观测实际问题 2、进一步了解数学建模思想，能将实际问题中的数量关系转化为直角三角 【重难点分析】 重点：了解仰角、俯角的概念，能应用解直角三角形解决一类观测实际问题 难点：进一步了解数学建模思想，能将实际问题中的数量关系转化为直角三角 【教学流程设计】 教学流程 学生活动 一、自学指导 1、 认识仰角和俯角 在进行观察或测量时， 当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫仰角； 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫俯角. 2、 直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为α=30°，β=45°，求飞机的高度PO . [来源:学科网] [来源:Z+xx+k.Com] 二、变式训练 直升飞机在高为200米的大楼AB左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离PD. 三、精讲拓展 1、做一做 海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处,之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流. 2、想一想 某商场为了加强安全管理，决定将商场内的楼梯的倾斜角由40º降为35º，已知原楼梯长为4米 ，（1）调整后楼梯会加长多少？（2）调整后楼梯会多占多少一段地面？ 四、解题