2019高考数学（理）二轮复习（课件+检测）：第20讲 函数与不等式的综合问题 (2份打包)

第20讲　函数与不等式的综合问题 【命题趋势】 函数、不等式、导数综合是历年高考命题的热点,多以解答题中压轴题的形式出现,除重点考查利用导数判断单调性和利用导数求极值、最值外,较多的还是导数与不等式的整合,即将求参数范围问题转化为求函数最值问题,通过构造函数,以导数为工具证明不等式问题,旨在考查学生思维能力及数学素养. 【备考建议】 函数与不等式的综合问题是新课标高考的命题热点之一,往往处在解答题压轴题的地位,具有一定的区分度,有一定的难度.备考时需要明确以下几个问题的解决方法： (1)利用构造函数的单调性解决不等式解集及比较数或式的大小； (2)根据不等式恒成立、存在性成立求参数的取值范围； (3)与不等式有关的证明.不等式的证明常与函数、数列、导数综合在一起,证明过程中的构造函数法、数学归纳法、放缩法是高考命题的一个热点,其中放缩的“度”的把握更能显出解题的真功夫.此外关于连续函数在闭区间上的最值定理及有高等数学背景的函数的凸凹性问题也值得关注.这个考点考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等,还要培养提高推理论证能力、运算求解能力、创新意识等. 探究一　两个数或式的大小比较 例1(1)已知y＝f(x)为(0,＋∞)上的可导函数,且(x＋1)f′(x)>f(x),则下列不等式一定成立的是(　　) A.3f(4)<4f(3) B.3f(4)>4f(3) C.3f(3)<4f(2) D.3f(3)>4f(2) 【解析】选D. 令g(x)＝eq \f(f（x）,x＋1),且y＝f(x)为(0,＋∞)上的可导函数,且(x＋1)f′(x)>f(x),则g′(x)＝eq \f(（x＋1）f′（x）－f（x）,（x＋1）2)>0在(0,＋∞)上恒成立,即g(x)＝eq \f(f（x）,x＋1)在(0,＋∞)上单调递增,则eq \f(f（3）,4)>eq \f(f（2）,3),即3f(3)>4f(2)；故选D. (2)已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x(a>0,b∈R),若对任意x>0,f(x)≥f(1),则(　　) A.ln a<－2b B.ln a≤－2b C.ln a>－2b D.ln a≥－2b 【解析】选A. f′(x)＝2ax＋b－eq \f(1,x),由题意可知f′(1)＝0,即2a＋b＝1.构造一个新函数g(x)＝2－4x＋ln x,则有g′(x)＝eq \f(1,x)－4,令g′(x)＝eq \f(1,x)－4＝0⇒x＝eq \f(1,4), 故x<eq \f(1,4)时g(x)为增函数, x>eq \f(1,4)时g(x)为减函数, 所以对任意的x>0有g(x)≤geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝1－ln 4<0, 所以有g(a)＝2－4a＋ln a＝2b＋ln a<0⇒ln a<－2b,故选A. (3)已知函数f(x)的定义域为R,f′(x)为函数f(x)的导函数,当x∈[0,＋∞)时,2sin xcos x－f′(x)>0且∀x∈R,f(－x)＋f(x)＋cos 2x＝1.则下列不等式一定正确的是(　　) A.eq \f(1,4)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)))>eq \f(3,4)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3))) B.eq \f(1,4)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)))>eq \f(3,4)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3))) C.eq \f(3,4)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))>eq \f(1,2)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4))) D.eq \f(1,2)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))>eq \f(3,4)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) 【解析】选B. 令F(x)＝sin2x－f(x),则F′(x)＝sin 2x－f′(x). 因为当x∈[0,＋∞)时,2sin xcos x－f′(x)>0, 即sin 2x>f′(x),所以F′(x)＝sin 2x－f′(x)>0, 所以F(x)＝sin2x－f(x)在x∈[0,＋∞)上单调递增, 又∀x∈