第13章 13.2 培优课 求二面角的平面角的常见解法-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（苏教版2019）

培优课 第13章 <<< 求二面角的平面角的常见解法 二面角是立体几何中的重要内容，它综合了空间中的各种位置关系，是高考的热点和难点.学习这部分内容要弄清二面角、二面角的平面角这两个概念，进而掌握如何作出二面角的平面角，这是解决问题的关键，也是难点.而求作二面角的平面角的方法主要有三种：定义法、垂线法、垂面法，至于求解平面角的问题，常用到解三角形的知识. 求二面角的常见题型，根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角，对于前者的二面角通常采用找点，连线或平移等手段来定位出二面角的平面角；而对于无棱二面角，一般通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使出现棱，进一步定位二面角的平面角. 一、定义法 二、垂线法 课时对点练 三、垂面法 内容索引 定义法 一 定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，以这一点为端点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. 知识梳理 二面角α-l-β的大小为60°，A，B分别在两个面内，且A和B到棱l的距离为2和4，AB=10，求AB与棱l所成角的正弦值. 例 1 6 如图，作AC⊥l，BD⊥l，C，D为垂足， 则AC=2，BD=4，AB=10. 在β内过点C作CE∥DB，且CE=DB， 连接BE，AE， ∴四边形CEBD为平行四边形， ∴BE∥l，∴∠ABE为AB与棱l所成的角， ∵BD∥CE，∴l⊥AC，l⊥CE， ∴∠ACE为二面角α-l-β的平面角， ∴∠ACE=60°， 7 又AC=2，BD=4， ∴AE==2. 又BE∥l，l⊥平面ACE， ∴BE⊥AE， ∴sin∠ABE===. 8 反 思 感 悟 利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角. 9 　如图，在三棱锥V-ABC中，VA=AB=VB=AC=BC=2，VC=，求二面角V-AB-C的大小. 跟踪训练 1 10 取AB的中点D，连接VD，CD， ∵在△VAB中， VA=VB=AB=2， ∴△VAB为等边三角形， ∴VD⊥AB且VD=， 同理CD⊥AB，CD=， ∴∠VDC为二面角V-AB-C的平面角，而△VDC是等边三角形， ∴∠VDC=60°， ∴二面角V-AB-C的大小为60°. 11 二 垂线法 垂线法：过二面角的一个面内异 于棱上的点A向另一个平面作垂线，垂足为B，再由点A向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接BO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. 知识梳理 13 　如图，在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC= ∠ABC=90°，SA=AB，SB=BC. (1)证明：平面SBC⊥平面SAB； 例 2 14 ∵∠SAB=∠SAC=90°， ∴SA⊥AB，SA⊥AC， 又AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC， ∴SA⊥平面ABC， 又BC⊂平面ABC， ∴SA⊥BC， 又AB⊥BC，SA∩AB=A，SA，AB⊂平面SAB， ∴BC⊥平面SAB， 又BC⊂平面SBC， ∴平面SBC⊥平面SAB. 15 (2)求二面角A-SC-B的平面角的正弦值. 16 取SB的中点D，连接AD，则AD⊥SB， 由(1)知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB=SB，AD⊂平面SAB， ∴AD⊥平面SBC. 又SC⊂平面SBC， ∴AD⊥SC， 作AE⊥SC，垂足为E，连接DE， 则DE⊥SC，AD⊥DE， 则∠AED为二面角A-SC-B的平面角. 17 设SA=AB=2，则SB=BC=2，AD=， AC=2，SC=4. 由题意得AE=， 在Rt△ADE中，sin∠AED===， ∴二面角A-SC-B的平面角的正弦值为. 18 反 思 感 悟 如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，再证明两垂足的连线与棱垂直，就可以找到二面角的平面角. 　如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α-l-β的平面角的大小. 跟踪训练 2 20 如图，过点A作AF⊥BD，F为垂足，作AE⊥平面α，E为垂足，连接EF，CE， ∵BD⊂平面α，AE⊥平面α， ∴AE⊥BD， 又∵AF⊥BD，AE∩AF=A， ∴BD⊥平面AEF， ∴BD⊥EF， ∴∠AFE为二面角α-l-β的平面角. 21 依题意知∠ACF=45°，∠ACE=30°，设AC=2， ∴AF=CF=，AE=1， ∴sin∠AFE===， ∴∠AFE=45°. ∴二面角α-l-β的平面角为45°. 22 垂面法 三 垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. 知识梳理 24 如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E-BD-C的大小. 例 3 25 ∵SB=BC，且E是SC的中点， ∴BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线， ∴SC⊥BE. 又SC⊥DE，BE∩DE=E，BE，DE⊂平面BDE， ∴SC⊥平面BDE， ∴SC⊥BD. 又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC， ∴SA⊥BD，而SC∩SA=S，SC，SA⊂平面SAC， ∴BD⊥平面SAC. 26 ∵平面SAC∩平面BDE=DE， 平面SAC∩平面BDC=DC， ∴BD⊥DE，BD⊥DC， ∴∠EDC是所求二面角的平面角. ∵SA⊥底面ABC， ∴SA⊥AB，SA⊥AC. 设SA=2，则AB=2，BC=SB=2. ∵AB⊥BC， ∴AC=2， 27 ∴∠ACS=30°. 又已知DE⊥SC， ∴∠EDC=60°. ∴二面角E-BD-C的大小为60°. 28 反 思 感 悟 二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面都相交，那么这两条交线所成的角即为该二面角的平面角. 　在四面体A-BCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，求二面角A-CD-B的余弦值. 跟踪训练 3 30 由已知可得AD⊥DC， 又由其余各棱长都为1，得△BCD为正三角形， 取CD的中点E，连接BE，则BE⊥CD， 在平面ADC中，过点E作AD的平行线交AC于点F， 则F为AC的中点， 则∠BEF为二面角A-CD-B的平面角. ∵EF=，BE=，BF=， ∴cos∠BEF===. 31 课时对点练 四 答案 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D A B 45° 9. 设PA=AB=2，过点A作AE⊥BC，交BC于点E，连接PE，如图所示，∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， ∴BC⊥PA， ∵AE⊥BC，PA∩AE=A，PA，AE⊂平面PAE， ∴BC⊥平面PAE， ∵PE⊂平面PAE，∴PE⊥BC， ∴二面角P-BC-A的平面角为∠PEA， 在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠ABE=30°，AB=2， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 则AE=AB=1， ∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD， ∴PA⊥AE， 由勾股定理得PE==， ∴cos∠PEA==. ∴二面角P-BC-A的余弦值为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. (1)由AC=BC，D为AB的中点，得CD⊥AB， 又CD⊥AA1，AB∩AA1=A，AB，AA1⊂平面A1ABB1， 所以CD⊥平面A1ABB1， 所以点C到平面A1ABB1的距离为 CD==. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. (2)如图，取D1为A1B1的中点，连接DD1， 则DD1∥AA1∥CC1，DD1⊂平面CDC1. 又由(1)知CD⊥平面A1ABB1，A1D，DD1⊂平面A1ABB1， 故CD⊥A1D，CD⊥DD1， 所以∠A1DD1为所求的二面角A1-CD-C1的平面角. 因为CD⊥平面A1ABB1，AB1⊂平面A1ABB1， 所以AB1⊥CD， 又已知AB1⊥A1C，A1C∩CD=C，A1C，CD⊂平面A1CD， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 所以AB1⊥平面A1CD，又A1D⊂平面A1CD，故AB1⊥A1D，从而∠A1AB1，∠A1DA都与∠B1AB互余， 因此∠A1AB1=∠A1DA， 所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A. 因此=， 即A=AD·A1B1=8， 得AA1=2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 从而A1D==2. 所以，在Rt△A1DD1中， cos∠A1DD1===. 故二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC，BD交于点O，给出三个平面角∠B1AD1，∠B1OD1，∠B1CD1，其中能作为二面角B1-AC-D1的平面角的是 A.∠B1AD1 B.∠B1OD1 C.∠B1CD1 D.都可以 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由正方体的性质知AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1=B， ∴AC⊥平面BB1D1D. ∵B1O⊂平面BB1D1D，D1O⊂平面BB1D1D， ∴B1O⊥AC，D1O⊥AC， ∴∠B1OD1是二面角B1-AC-D1的平面角. 答案 2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱AD，BC的中点，则二面角C1-EF-C的余弦值为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面B1BCC1， E，F分别为棱AD，BC的中点， 所以EF∥AB，所以EF⊥平面B1BCC1， 所以EF⊥FC1，EF⊥FC， 所以∠CFC1就是二面角C1-EF-C的平面角， cos∠CFC1===. 答案 3.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，则二面角A1-BC-A的平面角的正切值为 A. B. C.1 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设棱长为a，BC的中点为E，连接A1E，AE(图略)，由正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等， 可得A1E⊥BC，AE⊥BC， 所以二面角A1-BC-A的平面角为∠A1EA， 在Rt△AEA1中，AE=a， 所以tan∠A1EA===， 即二面角A1-BC-A的平面角的正切值为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，CC1=，则二面角C1-BD-C的大小为 A.30° B.45° C.60° D.90° √ 因为AB=AD=2，CC1=， 所以取BD的中点O，连接C1O，CO(图略)， 则∠C1OC即为二面角C1-BD-C的平面角， 由CO=，tan∠C1OC=知，∠C1OC=30°. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.如图，已知矩形ABCD的两边AB=3，AD=4，PA⊥平面ABCD，且PA=，则二面角A-BD-P的正切值为 A. B. C.- D.- √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图，过点A作AO⊥BD，交BD于点O，连接PO， ∵矩形ABCD的两边AB=3，AD=4， ∴BD==5， ∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD， ∵AO⊥BD，PA∩AO=A，PA，AO⊂平面APO， ∴BD⊥平面APO， ∵PO⊂平面APO，∴PO⊥BD， ∴∠POA是二面角A-BD-P的平面角. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵·BD·AO=·AB·AD， ∴AO==， ∴tan∠POA===. ∴二面角A-BD-P的正切值为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是C1D1的中点，则二面角M-AB-D的大小为　　　.  45° 如图，M为C1D1的中点，则MA=MB，取AB的中点N，连接MN，则MN⊥AB，取CD的中点H，连接HN，则HN⊥AB，从而∠MNH是二面角M-AB-D的平面角.∠MNH=45°， 所以二面角M-AB-D的大小为45°. 答案 7.如图，二面角α-l-β的大小是30°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为60°，则AB与平面β所成的 角的正弦值是　 　.  如图，作AO⊥β于点O，AC⊥l于点C，连接OB，OC，则OC⊥l， 则∠ACO为二面角α-l-β的平面角， ∠ABC为AB与l所成的角. 设AB与β所成的角为θ，则∠ABO=θ. 由图得sin θ==·=sin 60°×sin 30°=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 8.设P为圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足∠ABC= 90°，M为线段AP的中点.若AB=1，AC=2，AP=，则二面角M-BC-A的 正切值为　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图，由∠ABC=90°知，AC为底面圆的直径. 设底面圆心为O， 则PO⊥平面ABC，易知AO=AC=1， 进而PO==1. 设点H为点M在底面上的射影，则H为AO的中点.在底面中作HK⊥BC于点K， 因为MH⊥BC，HK⊥BC，MH∩HK=H，MH，HK⊂平面MHK， 所以BC⊥平面MHK， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为MK⊂平面MHK， 所以BC⊥MK， 从而∠MKH为二面角M-BC-A的平面角. 因为MH=AH=，结合HK与AB平行知， ==，即HK=， 所以tan∠MKH==. 故二面角M-BC-A的正切值为. 答案 9.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的余弦值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设PA=AB=2，过点A作AE⊥BC，交BC于点E，连接PE，如图所示， ∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， ∴BC⊥PA， ∵AE⊥BC，PA∩AE=A，PA，AE⊂平面PAE， ∴BC⊥平面PAE， ∵PE⊂平面PAE，∴PE⊥BC， ∴二面角P-BC-A的平面角为∠PEA， 在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠ABE=30°，AB=2， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 则AE=AB=1， ∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD， ∴PA⊥AE， 由勾股定理得PE==， ∴cos∠PEA==. ∴二面角P-BC-A的余弦值为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC- A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点. (1)求点C到平面A1ABB1的距离； 由AC=BC，D为AB的中点，得CD⊥AB， 又CD⊥AA1，AB∩AA1=A，AB，AA1⊂平面A1ABB1， 所以CD⊥平面A1ABB1， 所以点C到平面A1ABB1的距离为 CD==. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)若AB1⊥A1C，求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图，取D1为A1B1的中点，连接DD1， 则DD1∥AA1∥CC1，DD1⊂平面CDC1. 又由(1)知CD⊥平面A1ABB1，A1D，DD1⊂平面A1ABB1， 故CD⊥A1D，CD⊥DD1， 所以∠A1DD1为所求的二面角A1-CD-C1的平面角. 因为CD⊥平面A1ABB1，AB1⊂平面A1ABB1， 所以AB1⊥CD， 又已知AB1⊥A1C，A1C∩CD=C，A1C，CD⊂平面A1CD， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以AB1⊥平面A1CD， 又A1D⊂平面A1CD，故AB1⊥A1D， 从而∠A1AB1，∠A1DA都与∠B1AB互余， 因此∠A1AB1=∠A1DA， 所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A. 因此=， 即A=AD·A1B1=8， 得AA1=2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 从而A1D==2. 所以，在Rt△A1DD1中， cos∠A1DD1===. 故二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值为. 答案 第一章 <<< $$ 培优课　求二面角的平面角的常见解法 二面角是立体几何中的重要内容，它综合了空间中的各种位置关系，是高考的热点和难点.学习这部分内容要弄清二面角、二面角的平面角这两个概念，进而掌握如何作出二面角的平面角，这是解决问题的关键，也是难点.而求作二面角的平面角的方法主要有三种：定义法、垂线法、垂面法，至于求解平面角的问题，常用到解三角形的知识. 求二面角的常见题型，根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角，对于前者的二面角通常采用找点，连线或平移等手段来定位出二面角的平面角；而对于无棱二面角，一般通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使出现棱，进一步定位二面角的平面角. 一、定义法 知识梳理 定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，以这一点为端点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. 例1　二面角α-l-β的大小为60°，A，B分别在两个面内，且A和B到棱l的距离为2和4，AB=10，求AB与棱l所成角的正弦值. 解　如图，作AC⊥l，BD⊥l，C，D为垂足， 则AC=2，BD=4，AB=10. 在β内过点C作CE∥DB，且CE=DB， 连接BE，AE， ∴四边形CEBD为平行四边形， ∴BE∥l，∴∠ABE为AB与棱l所成的角， ∵BD∥CE，∴l⊥AC，l⊥CE， ∴∠ACE为二面角α-l-β的平面角， ∴∠ACE=60°， 又AC=2，BD=4， ∴AE==2. 又BE∥l，l⊥平面ACE， ∴BE⊥AE， ∴sin∠ABE===. 反思感悟　利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角. 跟踪训练1　如图，在三棱锥V-ABC中，VA=AB=VB=AC=BC=2，VC=，求二面角V-AB-C的大小. 解　取AB的中点D， 连接VD，CD， ∵在△VAB中， VA=VB=AB=2， ∴△VAB为等边三角形， ∴VD⊥AB且VD=， 同理CD⊥AB，CD=， ∴∠VDC为二面角V-AB-C的平面角，而△VDC是等边三角形， ∴∠VDC=60°， ∴二面角V-AB-C的大小为60°. 二、垂线法 知识梳理 垂线法：过二面角的一个面内异 于棱上的点A向另一个平面作垂线，垂足为B，再由点A向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接BO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. 例2　如图，在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ABC=90°，SA=AB，SB=BC. (1)证明：平面SBC⊥平面SAB； (2)求二面角A-SC-B的平面角的正弦值. (1)证明　∵∠SAB=∠SAC=90°， ∴SA⊥AB，SA⊥AC， 又AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC， ∴SA⊥平面ABC， 又BC⊂平面ABC， ∴SA⊥BC， 又AB⊥BC，SA∩AB=A，SA，AB⊂平面SAB， ∴BC⊥平面SAB， 又BC⊂平面SBC， ∴平面SBC⊥平面SAB. (2)解　取SB的中点D，连接AD，则AD⊥SB， 由(1)知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB=SB，AD⊂平面SAB， ∴AD⊥平面SBC. 又SC⊂平面SBC， ∴AD⊥SC， 作AE⊥SC，垂足为E，连接DE， 则DE⊥SC，AD⊥DE， 则∠AED为二面角A-SC-B的平面角. 设SA=AB=2，则SB=BC=2，AD=， AC=2，SC=4. 由题意得AE=， 在Rt△ADE中，sin∠AED===， ∴二面角A-SC-B的平面角的正弦值为. 反思感悟　如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，再证明两垂足的连线与棱垂直，就可以找到二面角的平面角. 跟踪训练2　如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α-l-β的平面角的大小. 解　如图，过点A作AF⊥BD，F为垂足，作AE⊥平面α，E为垂足，连接EF，CE， ∵BD⊂平面α，AE⊥平面α， ∴AE⊥BD， 又∵AF⊥BD，AE∩AF=A， ∴BD⊥平面AEF， ∴BD⊥EF， ∴∠AFE为二面角α-l-β的平面角. 依题意知∠ACF=45°，∠ACE=30°，设AC=2， ∴AF=CF=，AE=1， ∴sin∠AFE===， ∴∠AFE=45°. ∴二面角α-l-β的平面角为45°. 三、垂面法 知识梳理 垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. 例3　如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E-BD-C的大小. 解　∵SB=BC，且E是SC的中点， ∴BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线， ∴SC⊥BE. 又SC⊥DE，BE∩DE=E，BE，DE⊂平面BDE， ∴SC⊥平面BDE， ∴SC⊥BD. 又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC， ∴SA⊥BD，而SC∩SA=S，SC，SA⊂平面SAC， ∴BD⊥平面SAC. ∵平面SAC∩平面BDE=DE， 平面SAC∩平面BDC=DC， ∴BD⊥DE，BD⊥DC， ∴∠EDC是所求二面角的平面角. ∵SA⊥底面ABC， ∴SA⊥AB，SA⊥AC. 设SA=2，则AB=2，BC=SB=2. ∵AB⊥BC， ∴AC=2， ∴∠ACS=30°. 又已知DE⊥SC， ∴∠EDC=60°. ∴二面角E-BD-C的大小为60°. 反思感悟　二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面都相交，那么这两条交线所成的角即为该二面角的平面角. 跟踪训练3　在四面体A-BCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，求二面角A-CD-B的余弦值. 解　由已知可得AD⊥DC， 又由其余各棱长都为1，得△BCD为正三角形，取CD的中点E，连接BE，则BE⊥CD， 在平面ADC中，过点E作AD的平行线交AC于点F，则F为AC的中点， 则∠BEF为二面角A-CD-B的平面角. ∵EF=，BE=，BF=， ∴cos∠BEF===. 课时对点练　[分值：70分] 单选题每小题5分，共25分 1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC，BD交于点O，给出三个平面角∠B1AD1，∠B1OD1，∠B1CD1，其中能作为二面角B1-AC-D1的平面角的是(　　) A.∠B1AD1 B.∠B1OD1 C.∠B1CD1 D.都可以 答案　B 解析　由正方体的性质知AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1=B， ∴AC⊥平面BB1D1D. ∵B1O⊂平面BB1D1D，D1O⊂平面BB1D1D， ∴B1O⊥AC，D1O⊥AC， ∴∠B1OD1是二面角B1-AC-D1的平面角. 2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱AD，BC的中点，则二面角C1-EF-C的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面B1BCC1， E，F分别为棱AD，BC的中点， 所以EF∥AB，所以EF⊥平面B1BCC1， 所以EF⊥FC1，EF⊥FC， 所以∠CFC1就是二面角C1-EF-C的平面角， cos∠CFC1===. 3.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，则二面角A1-BC-A的平面角的正切值为(　　) A. B. C.1 D. 答案　D 解析　设棱长为a，BC的中点为E，连接A1E，AE(图略)，由正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等， 可得A1E⊥BC，AE⊥BC， 所以二面角A1-BC-A的平面角为∠A1EA， 在Rt△AEA1中，AE=a， 所以tan∠A1EA===， 即二面角A1-BC-A的平面角的正切值为. 4.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，CC1=，则二面角C1-BD-C的大小为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案　A 解析　因为AB=AD=2，CC1=， 所以取BD的中点O，连接C1O，CO(图略)， 则∠C1OC即为二面角C1-BD-C的平面角， 由CO=，tan∠C1OC=知，∠C1OC=30°. 5.如图，已知矩形ABCD的两边AB=3，AD=4，PA⊥平面ABCD，且PA=，则二面角A-BD-P的正切值为(　　) A. B. C.- D.- 答案　B 解析　如图，过点A作AO⊥BD，交BD于点O，连接PO， ∵矩形ABCD的两边AB=3，AD=4， ∴BD==5， ∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴PA⊥BD， ∵AO⊥BD，PA∩AO=A，PA，AO⊂平面APO， ∴BD⊥平面APO， ∵PO⊂平面APO，∴PO⊥BD， ∴∠POA是二面角A-BD-P的平面角. ∵·BD·AO=·AB·AD， ∴AO==， ∴tan∠POA===. ∴二面角A-BD-P的正切值为. 6.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是C1D1的中点，则二面角M-AB-D的大小为　　　　.  答案　45° 解析　如图，M为C1D1的中点，则MA=MB，取AB的中点N，连接MN，则MN⊥AB，取CD的中点H，连接HN，则HN⊥AB，从而∠MNH是二面角M-AB-D的平面角.∠MNH=45°， 所以二面角M-AB-D的大小为45°. 7.(5分)如图，二面角α-l-β的大小是30°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为60°，则AB与平面β所成的角的正弦值是　　　　.  答案　 解析　如图，作AO⊥β于点O，AC⊥l于点C，连接OB，OC，则OC⊥l， 则∠ACO为二面角α-l-β的平面角，∠ABC为AB与l所成的角. 设AB与β所成的角为θ，则∠ABO=θ. 由图得sin θ==· =sin 60°×sin 30°=. 8.(5分)设P为圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足∠ABC=90°，M为线段AP的中点.若AB=1，AC=2，AP=，则二面角M-BC-A的正切值为　　　　.  答案　 解析　如图，由∠ABC=90°知，AC为底面圆的直径. 设底面圆心为O， 则PO⊥平面ABC， 易知AO=AC=1， 进而PO==1. 设点H为点M在底面上的射影，则H为AO的中点.在底面中作HK⊥BC于点K， 因为MH⊥BC，HK⊥BC，MH∩HK=H，MH，HK⊂平面MHK， 所以BC⊥平面MHK， 因为MK⊂平面MHK， 所以BC⊥MK， 从而∠MKH为二面角M-BC-A的平面角. 因为MH=AH=，结合HK与AB平行知， ==，即HK=， 所以tan∠MKH==. 故二面角M-BC-A的正切值为. 9.(15分)在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的余弦值. 解　设PA=AB=2，过点A作AE⊥BC，交BC于点E，连接PE，如图所示， ∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， ∴BC⊥PA， ∵AE⊥BC，PA∩AE=A，PA，AE⊂平面PAE， ∴BC⊥平面PAE， ∵PE⊂平面PAE，∴PE⊥BC， ∴二面角P-BC-A的平面角为∠PEA， 在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠ABE=30°，AB=2， 则AE=AB=1， ∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD， ∴PA⊥AE， 由勾股定理得PE==， ∴cos∠PEA==. ∴二面角P-BC-A的余弦值为. 10.(15分)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点. (1)求点C到平面A1ABB1的距离；(4分) (2)若AB1⊥A1C，求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值.(11分) 解　(1)由AC=BC，D为AB的中点，得CD⊥AB， 又CD⊥AA1，AB∩AA1=A，AB，AA1⊂平面A1ABB1，所以CD⊥平面A1ABB1， 所以点C到平面A1ABB1的距离为 CD==. (2)如图，取D1为A1B1的中点，连接DD1， 则DD1∥AA1∥CC1，DD1⊂平面CDC1. 又由(1)知CD⊥平面A1ABB1，A1D，DD1⊂平面A1ABB1， 故CD⊥A1D，CD⊥DD1， 所以∠A1DD1为所求的二面角A1-CD-C1的平面角. 因为CD⊥平面A1ABB1，AB1⊂平面A1ABB1， 所以AB1⊥CD， 又已知AB1⊥A1C，A1C∩CD=C，A1C，CD⊂平面A1CD， 所以AB1⊥平面A1CD， 又A1D⊂平面A1CD，故AB1⊥A1D， 从而∠A1AB1，∠A1DA都与∠B1AB互余， 因此∠A1AB1=∠A1DA， 所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A. 因此=， 即A=AD·A1B1=8， 得AA1=2. 从而A1D==2. 所以，在Rt△A1DD1中， cos∠A1DD1===. 故二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$