2019高考数学（理）二轮复习（课件+检测）：第8讲　等差与等比数列的性质 (2份打包)

第8讲　等差与等比数列的性质 【命题趋势】 本考点在高考中,主要考查等差与等比数列的概念、基本性质、简单运算等,常以选择、填空题的形式出现,属于中档题.全国卷中数列考题更加注重基础,强调双基,讲究解题的通性通法,尤其在选择、填空题上更加突出,常常以“找常数”“找邻居”“找配对”“构函数”作为本节考点命题的一大亮点,突出考查等差、等比数列的基本概念、性质以及它们的交叉运用,突出了“小、巧、活”的特点,“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的客观题计算中非常重要,难度多属中等偏易. 【备考建议】 复习中要做到： (1)深刻理解等差数列和等比数列基本概念、性质,熟练掌握这两种数列常用的判定、证明方法,这类问题经常出现在以递推数列为背景的试题第(1)问中. (2)能正确使用等差(比)数列定义、性质是学好本节考点的关键.解题时应从基础着笔,首先要熟练掌握等差数列、等比数列的相关性质及公式,然后要熟悉它们的灵活变形,善用技巧,减少运算量,这是迅速、准确解题的关键.运用方程的思想解答等差(比)数列计算问题是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量a1、d(或q),掌握好设取未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入”来简化运算. 探究一　等差(比)数列的判定与证明 例1 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为0的常数),那么数列{an}(　　) A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列或者是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 【解析】选C. 当n＝1时可得a1＝a－1,当n≥2时可得an＝an－an－1＝(a－1)an－1,a1也适合这个式子, 故数列{an}的通项公式是an＝(a－1)an－1. 当a＝1时,该数列的各项都是零,此时数列{an}为等差数列, 当a≠1时,数列{an}为等比数列. (2)已知数列{an}是首项a1＝eq \f(1,4),公比q＝eq \f(1,4)的等比数列.设bn＋2＝3logeq \f(1,4)an(n∈N*). 求证：数列{bn}是等差数列. 【解析】证明：由已知可得an＝a1qn－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(n), bn＋2＝3logeq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(n)＝3n, ∴bn＝3n－2. ∵bn＋1－bn＝3,∴数列{bn}为等差数列. 【点评】等差、等比数列的判定与证明方法： (1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数)⇔{an}是等差数列； eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数)⇔{an}是等比数列； (2)利用中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列； aeq \o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)⇔{an}是等比数列(注意等比数列中an≠0,q≠0)； (3)通项公式法：an＝pn＋q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列； an＝cqn(c,q为非零常数)⇔{an}是等比数列； (4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列； Sn＝mqn－m(m为常数,q≠0且q≠1)⇔{an}是等比数列； (5)若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列,只需用a1,a2,a3验证即可. 探究二　等差(比)数列的基本计算 例2 (1)设Sn是等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则eq \f(a2,a1)等于(　　) A.1 B.1或2 C.1或3 D.3 【解析】选C. 设等差数列{an}的公差为d,则有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a1＋d)) eq \s\up12(2)＝a1(4a1＋6d),得d＝0或d＝2a1. 若d＝0,则eq \f(a2,a1)＝1,若d＝2a1,则eq \f(a2,a1)＝eq \f(3a1,a1)＝3,故选C. (2)已知数列{an}是首项等于eq \f(1,16)且公比不为1的等比数列,Sn是它的前n项和,满足S3＝4S2－eq \f(5,16). (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)设bn＝logaan(a>0且a≠1),求数列{bn}的前n项和Tn的最值. 【解析】(Ⅰ)∵S3＝4S2－eq \f(5,16),a1＝eq \f(1,1