2019高考数学（理）二轮复习（课件+检测）：第5讲　排列、组合与二项式定理 (2份打包)

第5讲　排列、组合与二项式定理 1.两个计数原理、排列与组合 (1)运用分类计数原理,要恰当选择分类标准,做到不重不漏. (2)运用分步计数原理,要确定好次序,并且每一步都是独立、互不干扰的,还要注意元素是否可以重复选择. (3)对于综合性排列组合问题,注意同时运用两个基本原理或借助列表、画树状图的方法来帮助分析,避免重复和遗漏计算. 2.二项式定理和应用 (1)运用二项式定理一定要牢记通项公式Tr＋1＝Ceq \o\al(r,n)an－r·br,另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只指Ceq \o\al(r,n),而后者是字母外的部分. (2)应用二项式原理,应注意以下两点： ①求二项式所有项的系数和,可采用“赋值”,通常令字母变量的值为1或－1或0； ②关于组合恒等式的证明,常采用“构造法”——构造函数或构造恒等式两种方法. 3.常用公式 (1)排列数公式：Aeq \o\al(m,n)＝n(n－1)·…·(n－m＋1). 组合数公式：Ceq \o\al(m,n)＝m,n)eq \f(A,Aeq \o\al(m,m)) ＝eq \f(n（n－1）·…·（n－m＋1）,m·（m－1）·…·2·1)＝eq \f(n！,m！（n－m）！). 由于0！＝1,所以Ceq \o\al(0,n)＝1. Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(n－m,n)；Ceq \o\al(m,n＋1)＝Ceq \o\al(m,n)＋Ceq \o\al(m－1,n). (2)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq \o\al(0,n)an＋Ceq \o\al(1,n)an－1b1＋…＋ Ceq \o\al(r,n)an－r·br＋…＋Ceq \o\al(n,n)bn(n∈N*). 通项：在二项展开式中的Ceq \o\al(r,n)an－rbr叫作二项展开式的通项,用Tr＋1表示,即通项为展开式的第r＋1项；Tr＋1＝Ceq \o\al(r,n)an－r·br(r＝0,1,…,n). 在二项式定理中,如果设a＝1,b＝x,则得到公式： (1＋x)n＝1＋Ceq \o\al(1,n)x＋Ceq \o\al(2,n)x2＋Ceq \o\al(3,n)x3＋…＋Ceq \o\al(n,n)xn. 若a＝1,b＝－x,则得到公式：(1－x)n＝1－Ceq \o\al(1,n)x＋Ceq \o\al(2,n)x2＋…＋(－1)nCeq \o\al(n,n)xn. 探究一　计数原理及应用 例1 (1)如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　　) A.60 B.48 C.36 D.24 【解析】选B. 长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个,另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12个,共36＋12＝48个,故选B. (2)用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2,…,9的9个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有________种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解析】108 第一步,从红、黄、蓝三种颜色中任选一种去涂标号为“1、5、9”的小正方形,涂法有3种； 第二步,涂标号为“2、3、6”的小正方形,若“2、6”同色,涂法有2×2种,若“2、6”不同色,涂法有2×1种； 第三步：涂标号为“4、7、8”的小正方形,涂法同涂标号为“2、3、6”的小正方形的方法一样. 因此符合条件的所有涂法共有3×(2×2＋2×1)×(2×2＋2×1)＝108(种). 【点评】本题主要考查分类加法原理和分步乘法原理. 探究二　排列与组合及应用 例2 (1)分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道.要求4名水暖工都分配出去,且每户居民家都要有人去检查,那么分配的方案共有(　　) A.Aeq \o\al(3,4)种 B.Aeq \o\al(3,3)Aeq \o\al(1,3)种 C.Ceq \o\al(2,4)Aeq \o\al(3,3)种 D.Ceq \o\al(1,4)Ceq \o\al(1,3)Aeq \o\al(3,3)种 【解析】选C. 先将4名水暖工选出2人分成一组,然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家,故有Ceq \o\al(2,4)Aeq \o\al(3,3)种