2019高考数学（理）二轮复习（课件+检测）：第9讲　数列通项与求和 (2份打包)

第9讲　数列通项与求和 【命题趋势】 本考点是高考重点考查的内容,题型有选择题、填空题和解答题. 主要考查以下三个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件,求通项公式；考查用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力,属中档题. 2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题；考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用,属中档题. 3.数列的综合问题；多与函数、方程、不等式、三角等有关知识综合,或出现与数列结合的探索性问题,主要以等差、等比数列的基本运算为背景,探究满足条件的参数的取值范围或者参数的存在性问题.主要考查利用函数观点解决数列问题以及用不等式的方法研究数列的性质.解答题以中档题居多,试题具有综合性强、立意新、角度活、难度较大的特点. 【备考建议】 复习中要做到： 1.牢固掌握等差数列和等比数列的递推公式和通项公式,熟悉以递推公式求通项公式的六种方法(观察法、构造法、猜归法、累加法、累积法、待定系数法)为依托,掌握常见的递推数列的解题方法.对于既非等差又非等比的数列要综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法进行研究,要善于将其转化为特殊数列. 2.对于数列求和部分的复习要注意以下几点：①熟练掌握等差数列、等比数列的求和公式及其变形公式,这是数列求和的基础；②掌握好分组、裂项、错位相减、倒序相加法这几种重要的求和方法,特别要掌握好裂项与错位相减求和的方法,这是高考考查的重点；③掌握一些与数列求和有关的综合问题的解决方法,如求数列前n项和的最值,研究前n项和所满足的不等式等. 探究一　由Sn与an的关系式求an 例1 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1＝eq \f(1,2),Sn＝n2an－n(n－1),n＝1,2,…,则Sn＝________. 【解析】eq \f(n2,n＋1) 由Sn＝n2an－n(n－1)知, 当n≥2时Sn＝n2(Sn－Sn－1)－n(n－1), 即(n2－1)Sn－n2Sn－1＝n(n－1), ∴eq \f(n＋1,n)Sn－eq \f(n,n－1)Sn－1＝1对任意n≥2成立. 又eq \f(1＋1,1)S1＝1,∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)Sn))是首项为1,公差为1的等差数列. eq \f(n＋1,n)Sn＝1＋(n－1)×1＝n,∴Sn＝eq \f(n2,n＋1). (2)记Sn为数列{an}的前n项和.已知an＞0,aeq \o\al(2,n)＋2an＝4Sn＋3,则an＝________. 【解析】2n＋1 由aeq \o\al(2,n)＋2an＝4Sn＋3,① 可知aeq \o\al(2,n＋1)＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.② ②－①,得aeq \o\al(2,n＋1)－aeq \o\al(2,n)＋2(an＋1－an)＝4an＋1, 即2(an＋1＋an)＝aeq \o\al(2,n＋1)－aeq \o\al(2,n)＝(an＋1＋an)(an＋1－an). 由an＞0,得an＋1－an＝2. 又aeq \o\al(2,1)＋2a1＝4a1＋3,解得a1＝－1(舍去)或a1＝3. 所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an＝2n＋1. 【点评】给出Sn与an的递推关系求an,常用思路如下：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系,再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.解题时要注意变量的取值范围,且注意检验特殊情况是否成立. 探究二　由an与an＋1的递推关系式求an 例2 (1)已知a1＝1,an＋1＝2n·an(n≥1,n∈N*),求数列{an}的通项公式； (2)已知an＋1＝2an＋3×2n,a1＝2,求数列{an}的通项公式； (3)在数列{an}中,a1＝3,an＋1＝an＋eq \f(1,n（n＋1）),求数列{an}的通项公式； (4)已知数列{an}满足a1＝1,a2＝3,且an＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(nπ,2)))))an＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(nπ,2))),n∈N*,求数列{an}的通项公式. 【解析】(1)解法一：∵an＋1＝2n·an,∴eq \f(an＋1,an)＝2n, ∴eq \f(a2,a1)＝2,eq \f(a3,a2)＝22,eq \f(a4,a3)＝23,…,eq \f(an,an－1)＝2n－1. 将上述n－1个式子累乘,得eq \f(an,a