2019高考数学（文）优编增分二轮（课件+讲义+优选习题）全国通用版：专题七　系列4选讲 (共5份打包)

第1讲　坐标系与参数方程 [考情考向分析]　高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识． 热点一　极坐标与直角坐标的互化 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)， 则 例1　(2018·东北三省四市模拟)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρcos θ＝3，曲线C2：ρ＝4cos θ. (1)求C1与C2交点的极坐标； (2)设点Q在C2上，＝，求动点P的极坐标方程． 解　(1)联立得cos θ＝±， ∵0≤θ<，∴θ＝，ρ＝2， ∴所求交点的极坐标为. (2)设P，Q且ρ0＝4cos θ0，θ0∈， 由已知＝，得 ∴ρ＝4cos θ， 即ρ＝10cos θ， ∴点P的极坐标方程为ρ＝10cos θ，θ∈. 思维升华　(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一． (2)在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性． 跟踪演练1　(2018·山西省榆社中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为(t为参数，t>0且t≠)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (1)将曲线M的参数方程化为普通方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求曲线M与曲线C交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)． 解　(1)∵＝t，∴x＝，即y＝(x－2)， 又t>0且t≠， 由x＝，得t＝－， ∴－>0且－≠， ∴x>2或x<0， ∴曲线M的普通方程为y＝(x－2)(x>2或x<0)． ∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ， ∴x2＋y2＝4x， 即曲线C的直角坐标方程为x2－4x＋y2＝0. (2)由得x2－4x＋3＝0， ∴x1＝1(舍去)，x2＝3， 则交点的直角坐标为(3，)，极坐标为. 热点二　参数方程与普通方程的互化 1．直线的参数方程 过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)． 2．圆的参数方程 圆心为点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)． 3．圆锥曲线的参数方程 (1)椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为(θ为参数)． (2)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为(t为参数)． 例2　(2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点． (1)求α的取值范围； (2)求AB中点P的轨迹的参数方程． 解　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1. 当α＝时，l与⊙O交于两点． 当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈. 综上，α的取值范围是. (2)l的参数方程为. 设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP， 则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α. 又点P的坐标(x，y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是 . 思维升华　(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等． (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x，y有范围限制，要标出x，y的取值范围． 跟踪演练2　(2018·北京朝阳区模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标是. (1)求直线l的普通方程； (2)求直线l上的点到点M距离最小时的点的直角坐标． 解　(1)直线l的普通方程为3x－y－6＝0. (2)点M的直角坐标是(－1，－)， 过点M作直线l的垂线，垂足为M′，则点M′即为所求的直线l上到点M距离最小的点． 直线MM′的方程是y＋＝－(x＋1)， 即y＝－x－－. 由解得 所以直线l上到点M距离最小的点的直角坐标是. 热点三　极坐标、参数方程的综合应用 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等． 例3　(2018·泉州质检)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)