2019高考数学（理）优编增分二轮（课件+讲义+优选习题）全国通用版：专题七　系列4选讲 (共6份打包)

第1讲　坐标系与参数方程 [考情考向分析]　高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识． 热点一　极坐标与直角坐标的互化 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图， 设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)， 则 例1　(2018·佛山模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1上一点A的极坐标为，曲线C2的极坐标方程为ρ＝cos θ. (1)求曲线C1的极坐标方程； (2)设点M，N在C1上，点P在C2上(异于极点)，若O，M，P，N四点依次在同一条直线l上，且|MP|，|OP|，|PN|成等比数列，求 l的极坐标方程． 解　(1)曲线C1的直角坐标方程为(x－a)2＋y2＝3， 化简得x2＋y2－2ax＋a2－3＝0. 又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ， 所以ρ2－2aρcos θ＋a2－3＝0. 代入点，得a2－a－2＝0， 解得a＝2或a＝－1(舍去)． 所以曲线C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋1＝0. (2)由题意知，设直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)， 设点M，N，P， 则ρ1<ρ3<ρ2. 联立得ρ2－4ρcos α＋1＝0， 所以ρ1＋ρ2＝4cos α，ρ1ρ2＝1. 联立得ρ3＝cos α. 因为|MP|，|OP|，|PN|成等比数列， 所以ρ＝(ρ3－ρ1)(ρ2－ρ3)，即2ρ＝(ρ1＋ρ2)ρ3－ρ1ρ2. 所以2cos2α＝4cos2α－1，解得cos α＝(舍负)． 经检验，满足O，M，P，N四点依次在同一条直线上， 所以l的极坐标方程为θ＝±(ρ∈R)． 思维升华　(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一． (2)在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性． 跟踪演练1　(2018·乌鲁木齐模拟)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin θ－ρcos2θ＝0. (1)求曲线C的直角坐标方程； (2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标． 解　(1)∵sin θ－ρcos2θ＝0， ∴ρsin θ－ρ2cos2θ＝0， 即y－x2＝0. 即曲线C的直角坐标方程为y＝x2. (2)将代入y－x2＝0， 得＋t－2＝0，即t＝0， 从而交点坐标为(1，)， 所以交点的一个极坐标为. 热点二　参数方程与普通方程的互化 1．直线的参数方程 过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)． 2．圆的参数方程 圆心为点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)． 3．圆锥曲线的参数方程 (1)椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为(θ为参数)． (2)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为(t为参数)． 例2　(2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点． (1)求α的取值范围； (2)求AB中点P的轨迹的参数方程． 解　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1. 当α＝时，l与⊙O交于两点． 当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈. 综上，α的取值范围是. (2)l的参数方程为 . 设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP， 则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α. 又点P的坐标(x，y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是. 思维升华　(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等． (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x，y有范围限制，要标出x，y的取值范围． 跟踪演练2　(2018·北京朝阳区模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标是. (1)求直线l的普通方程； (2)求直线l上的点到点M距离最小时的点的直角坐标． 解　(1)直线l的普通方程为3x－y－6＝0. (2)点M的直角坐标是(－1，－)， 过点