2019高考数学（文）精讲二轮（课件+讲义+精选试题）：专题八　选修4系列选讲 (共9份打包)

1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0. (1)求C2的直角坐标方程； (2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程． [解]　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为 (x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆． 由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线． 记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2. 由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点． 当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点． 或k＝0，经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－＝2，故k＝－ 当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以时，l2与C2没有公共点． .经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝＝2，故k＝0或k＝ 综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2. 2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点． (θ为参数)，过点(0，－ (1)求α的取值范围； (2)求AB中点P的轨迹的参数方程． [解]　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1. 当α＝时，l与⊙O交于两点． 当α≠. 或α∈<1，解得k<－1或k>1，即α∈.l与⊙O交于两点当且仅当时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－ 综上，α的取值范围是. (2)l的参数方程为 )． <α<(t为参数， 设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝tsinα＋1＝0. ，且tA，tB满足t2－2 于是tA＋tB＝2sinα. sinα，tP＝ 又点P的坐标(x，y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是 )．<α<(α为参数， 1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用． 2．全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用． $$ 第 二 篇 专 题 八 第一讲 选修4－4　坐标系与参数方程 考点一　极坐标方程及应用 1．直角坐标与极坐标的互化公式 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)x≠0.)) 2．几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r. (2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acosθ. (3)当圆心位于Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))，半径为a：ρ＝2asinθ. 3．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0. (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a. (3)直线过Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，\f(π,2)))且平行于极轴：ρsinθ＝b. [解题指导]　(1)eq \x(\a\al(设出P点的极,坐标ρ，θ))→eq \x(\a\al(用ρ，θ表示,|OM|，|OP|))→eq \x(由|OM|·|OP|＝16得极坐标方程)→eq \x(化直角坐标方程) (2)eq \x(\a\al(设出B点极,坐标ρB，α))→eq \x(用α表示ρB)→eq \x(\a\al(用α表示,△OAB的面积)) →eq \x(确定结果) [解]　(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝eq \f(4,cosθ). 由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程 ρ＝4cosθ(ρ>0)． 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)． 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB面积 S＝eq \f(1,2)|OA|·ρB·sin∠AOB ＝4cosα·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1