第四篇 立体几何（理科）（第01期）-2019年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列（全套打包）

一、解答题 1．如图所示，四棱锥中，底面，，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 2．如图，面，面，，，是的中点， （1）求直线与所成角的大小； （2）求直线与平面所成角的余弦值。 3．如图，在直三棱柱中， 分别是棱的中点，点在线段上（包括两个端点）运动． （1）当为线段的中点时， ①求证：；②求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （2）求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围. 4．如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线AE和平面OBC的所成角. 5．如图，三棱柱中，，，. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值. 6．在菱形中，且，点分别是棱的中点，将四边形沿着转动，使得与重合，形成如图所示多面体，分别取的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若平面平面，求与平面所成的正弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 一、解答题 1．如图所示，四棱锥中，底面，，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析； （2）. 【详解】 （1）证明：因为，，， 所以，， 在中，，，， 由余弦定理可得： 解得： 所以，所以是直角三角形， 又为的中点，所以 又，所以为等边三角形， 所以，所以， 又平面，平面， 所以平面. 【点睛】 不妨考查线面平行的证明以及利用空间向量求线面角，属中档题. 2．如图，面，面，，，是的中点， （1）求直线与所成角的大小； （2）求直线与平面所成角的余弦值。 【答案】（1）90°（2） 【解析】 【分析】 （1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角计算即可（2）利用直线上的向量与平面的法向量的夹角即可得出. 【详解】 如图，以点为坐标原点，以、所在的直线分别为轴、轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， ， ，， 【点睛】 本题主要考查了空间直角坐标系，向量的坐标运算，向量的夹角公式，属于中档题题.求线面角时，取斜线上任意一向量，求其与平面的法向量的夹角的余弦的绝对值，即为线面角的正弦值.学科&网 3．如图，在直三棱柱中， 分别是棱的中点，点在线段上（包括两个端点）运动． （1）当为线段的中点时， ①求证：；②求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （2）求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）①见解析；②；（2）. 【解析】 【详解】 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，. 因为分别是棱的中点，所以 （2）因为在线段上，所以设（），解得， 所以. 因为设平面的一个法向量为 由可得，取则所以 设直线与平面所成的角为 则 因为所以设则 所以，设 则，设可求得的取值范围为， 进一步可求得的取值范围为 所以直线与平面所成的角的正弦值的取值范围为. 【点睛】 本题全面考查利用空间向量坐标法证明线线垂直，求二面角，构造函数关系，并利用导数求范围，运算难度较大。 4．如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线AE和平面OBC的所成角. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）建立空间直角坐标系，通过直线方向向量夹角的余弦值得到异面直线所成角的余弦值. （2）通过直线的方向向量与平面的法向量所成的角计算线面角. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则，， （2）平面的法向量为，，故 ，因，故，故与平面所成的角为. 【点睛】 立体几何中空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.注意求线面角 时，直线的方向向量与平面的法向量的夹角的关系是. 5．如图，三棱柱中，，，. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析； （2） . 【详解】 （Ⅰ）取AB的中点O，连结OC，，. 因为，所以. 由于，，故为等边三角形，所以. 因为，所以平面. 又平面，故. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，. 又平面平面，交线为，所以平面，故，，两两相互垂直. 以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题设知，，，. 则，，. 【点睛】 利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 学科&网 6．在菱形中，且，点分别是棱的中点，将四边形沿着转动，使得与重合，形成如图所示多面体，分别取的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若