第二章 2.1.3 函数的单调性（课件）-2018版步步高学案导学与随堂笔记数学（人教B版必修1）

2.1.3　函数的单调性 第二章　§2.1　函 数 学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念. 2.会划分函数的单调区间，判断单调性. 3.会用定义证明函数的单调性. 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考　 知识点一　函数的单调性 画出函数f(x)＝x、f(x)＝x2的图象，并指出f(x)＝x、f(x)＝x2的图象的升降情况如何？ 答案 答案　两函数的图象如右： 函数f(x)＝x的图象由左到右是上升的；函数f(x)＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的. 1.设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中的 两个值x1，x2，改变量 ，则当 时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，如图(1)；当_________________ 时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数，如图(2). 梳理 任意 Δx＝x2－x1＞0 Δy＝f(x2)－f(x1)＞0 Δy＝f(x2)－f(x1)＜0 2.如果函数y＝f(x)在某个区间M上是增函数或是减函数，就说y＝f(x)在这个区间M上具有 (区间M称为单调区间). 特别提醒：函数单调性定义的理解 (1)任意性，即“任意取x1，x2”，不能取两个特殊值. (2)x1，x2有大小，通常规定Δx＝x2－x1＞0. (3)x1，x2同属于定义域的某个子区间. 单调性 思考　 知识点二　函数的单调区间 我们已经知道f(x)＝x2的减区间为(－∞，0]，f(x)＝ 的减区间为(－∞，0)，这两个减区间能不能交换？ 答案 答案　f(x)＝x2的减区间可以写成(－∞，0)，而f(x)＝ 的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f(x)＝ 的定义域. 梳理 一般地，有下列常识： (1)函数单调性是对于定义域内的某个区间而言的，即单调区间是定义域内的某个子区间. (2)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域，则只能开. (3)单调区间D⊆定义域I. (4)遵循最简原则，单调区间应尽可能大. 题型探究 例1　如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 解答 类型一　求单调区间并判断单调性 解　y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]， 其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数， 在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数. 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有. 反思与感悟 跟踪训练1　写出函数y＝|x2－2x－3|的单调区间，并指出单调性. 解答 所以y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞). 命题角度1　证明具体函数的单调性 例2　证明f(x)＝ 在其定义域上是增函数. 类型二　证明单调性 证明 设x1，x2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2， 则Δx＝x2－x1＞0， ∴Δy＝f(x1)－f(x2)<0， 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1<x2的条件下，转化为确定f(x1)与f(x2)的大小，要牢记五大步骤：取值→作差→变形→定号→小结. 反思与感悟 跟踪训练2　求证：函数f(x)＝x＋ 在[1，＋∞)上是增函数. 证明 证明　设x1，x2是[1，＋∞)上的任意实数，且x1<x2， 则Δx＝x2－x1＞0， ∵1≤x1<x2，∴x1－x2<0,1<x1x2， 即Δy＝f(x1)－f(x2)<0， 命题角度2　证明抽象函数的单调性 例3　已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数. 证明 证明　方法一　设x1，x2是实数集R上的任意两个实数，且x1>x2. 令x＋y＝x1，y＝x2，则x＝x1－x2>0. Δy＝f(x1)－f(x2)＝f(x＋y)－f(y)＝f(x)＋f(y)－1－f(y)＝f(x)－1. ∵x>0，∴f(x)>1，f(x)－1>0， ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). ∴函数f(x)在R上是增函数. 方法二　设x1>x2