第二章 2.1.4 函数的奇偶性（课件）-2018版步步高学案导学与随堂笔记数学（人教B版必修1）

2.1.4　函数的奇偶性 第二章　§2.1　函 数 学习目标 1.理解函数奇偶性的定义. 2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法. 3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题. 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1　 知识点一　函数奇偶性的定义 为什么不直接用图象关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？ 答案 答案　因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断. 思考2　 利用点对称来刻画图象对称有什么好处？ 答案 答案　好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图象关于y轴(原点)对称，反之亦然. (2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图象也能操作.   偶函数 奇函数 定义 条件 对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有－x∈D f(－x)＝____ f(－x)＝_____ 结论 函数f(x)叫做偶函数 函数f(x)叫做奇函数 奇、偶函数的概念 梳理 f(x) －f(x) 思考　 知识点二　奇(偶)函数的定义域特征 如果一个函数f(x)的定义域是(－1,1]，那么这个函数f(x)还具有奇偶性吗？ 答案 答案　由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数－x必须也在定义域内，才能进一步判断f(－x)与f(x)的关系.而本问题中，1∈(－1,1]，－1∉(－1,1]，f(－1)无定义，自然也谈不上是否与f(1)相等了.所以该函数既非奇函数，也非偶函数. 梳理 在奇函数和偶函数的定义中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于原点对称，因而判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于 对称. 原点 思考　 知识点三　函数奇偶性的几何特征 下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？ 答案 答案　①②关于y轴对称，③④关于原点对称. 奇、偶函数的图象特征 (1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. (2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于 对称，则这个函数是偶函数. 坐标原点 梳理 坐标原点 y轴 y轴 题型探究 命题角度1　已知函数解析式，证明奇偶性 例1　(1)证明f(x)＝ 既非奇函数又非偶函数； 证明 类型一　判断函数的奇偶性 证明　因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}， ∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内， 故f(x)＝ 既非奇函数又非偶函数. (2)证明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函数； 证明 证明　函数的定义域为R，因函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1， 又因f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数. (3)证明f(x)＝ 既是奇函数又是偶函数. 证明 证明　定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0， 所以f(－x)＝f(x)， 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域. 反思与感悟 跟踪训练1　(1)证明f(x)＝(x－2) 既非奇函数又非偶函数； 证明 证明　由 ≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数. (2)证明f(x)＝x|x|是奇函数. 证明 证明　函数的定义域为R，因f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)， 所以函数为奇函数. 命题角度2　证明分段函数的奇偶性 例2　判断函数f(x)＝ 的奇偶性. 解答 解　由题意可知f(x)的定义域为(－6，－1]∪[1,6)， 关于原点对称， 当x∈(－6，－1]时，－x∈[1,6)， 所以f(－x)＝(－x－5)2－4＝(x＋5)2－4＝f(x)； 当x∈[1,6)时，－x∈(－6，－1]， 所以f(－x)＝(－x＋5)2－4＝(x－5)2－4＝f(x). 综上可知对于任意的x∈(－6，－1]∪[1,6)， 都有f(－x)＝f(x)， 分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点：(1)定义域是否关于原点对称；(2)对于定义域内的任意x，是否都有f(－x)＝f(x)(或－f(x))，只不过对于不同的x，f(x)有不同的表达式，要逐段验证是否都有f(－x)＝f(x)(或－f(x)). 反思与感悟 跟踪训练2　证明f(x)＝