第一章 集 合-2018版步步高学案导学与随堂笔记数学（人教B版必修1）

1　聚焦“集合”双基 一、透析“集合”的基础知识 (一)集合的含义 1．集合的含义是一个描述性的，我们可以理解为一些对象组成的总体就构成集合，其中构成集合的每一个对象称为集合的元素．所以只要把对象看成整体就可以构成集合． 2．集合的元素的三个特性 (1)确定性：对于一个集合中每一个元素都可以判断该元素是不是集合中的元素．如“2017年中国效益较好的大型企业”就不能构成集合，因为“2017年中国效益较好的大型企业”中的对象是不确定的，效益较好和大型企业都没有明确的标准，无法判断一些企业是否属于这个范围． (2)互异性：互异性是指集合中的元素必须是互不相同的．如集合{x|x2＋4x＋4＝0}＝{－2}，而不能写成{－2，－2}． (3)无序性：对于一个集合中的元素无先后顺序，只要构成两个集合的元素一样，这两个集合就是相等的． (二)集合的表示 1．列举法：列举法是将集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合．用列举法表示集合时，首先要注意集合中元素的基本形式．例如：集合{1,2}与{(1,2)}是两个完全不同的集合，{1,2}是由1,2这两个元素所构成的集合，{(1,2)}是以一个实数对(1,2)为元素构成的集合．另外，用列举法表示由许多元素或无限个元素组成的集合时，要注意充分体现元素间的规律，在花括号内列举出部分元素，其余的元素用省略号表示．例如：所有正整数构成的集合可记为{1,2,3,4，…，n，…}． 2．描述法：它是指用集合所含元素的共同特征来表示集合的方法．具体可这样表示：在花括号“{　}”内先写上表示这个集合元素(代表元素)的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．它的一般表示形式为{x∈A|p(x)}，竖线前的x就是代表元素．对于描述法中的代表元素应注意以下两点： (1)应写清楚该集合中的代表元素．如集合{x|2≤x≤4}不能写成{2≤x≤4}，因为这样少了代表元素． (2)竖线后边应对代表元素的取值有准确的表示，比如下面的表示方法是错误的：{(x，y)|(－1,0)}，事实上，它应表示为{(x，y)|x＝－1，y＝0}，或表示为{(－1,0)}． (三)集合间的基本关系 1．空集是不含任何元素的集合，它虽然不含任何元素，但这样的集合是客观存在的．由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在研究集合问题时，空集还是很活跃的，一不小心就会出错．如满足B⊆A，就要分B＝∅和B≠∅进行研究． 2．子集可以理解为集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，则A是B的子集．比如任何一个整数都是有理数，也就是说整数集是有理数集的子集，可以表示为：Z⊆Q.但不要理解为A是B中部分元素组成的集合，因为A＝∅时，A也是B的子集，还有A＝B时，A也是B的子集． 3．真子集可以从两方面理解：一是集合A是集合B的子集，二是集合B中至少有一个元素不属于集合A.如A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,2,3,4,5,6}，由于6∈B，但6∉A，且有A⊆B，则集合A是集合B的真子集． 4．若两个集合互相包含，即A⊆B，且A⊇B，则称集合A与集合B相等，记作A＝B. (四)集合的基本运算 1．并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B. 符号表示：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}． 相关结论：A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. A∪B中的元素就是把集合A，B中所有元素并在一起构成的集合，要注意集合间元素的互异性，对于既属于集合A又属于集合B的元素只能出现一次． 2．交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B.[来源:学科网ZXXK] 符号表示：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 相关结论：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. A∩B中的任何元素都是集合A和B的公共元素，当集合A，B没有公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B＝∅. 3．补集：由全集U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，表示为∁UA，实际上∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．补集的概念是在全集中定义的，是由属于全集U但不属于集合A的所有元素构成，集合A和它的补集∁UA都是集合U的子集，且A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，全集不同，则补集也不同． 二、盘点解集合问题的基本方法 (一)列举法 对于一些有明显特征的集合，可以将集合中的元素一一列举出来． 例1 设集合M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数}，则M∩N等于(　　) A．{2,4} B．{1,2,4} C．{2,4,8} D．{1,2,8} 解析　因为N＝{x|x是2的倍数}＝{…，0,2,4,6,8，…}，所以M∩N＝{2,4,8}．故