1.2.3 第2课时 平面与平面垂直（课件）-2018版步步高学案导学与随堂笔记数学（人教B版必修2）

第2课时　平面与平面垂直 第一章　1.2.3　空间中的垂直关系 学习目标 1.理解面面垂直的定义，并能画出面面垂直的图形. 2.掌握面面垂直的判定定理及性质定理，并能进行空间垂直的相互转化. 3.掌握面面垂直的证明方法，并能在几何体中应用. 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一　平面与平面垂直的定义 1.条件：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直. 2.结论：两个平面互相垂直. 3.记法：平面α，β互相垂直，记作α⊥β. 思考　 知识点二　平面与平面垂直的判定定理 建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？ 答案 答案　都是垂直. 文字语言 如果一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面互相垂直 图形语言 符号语言 a⊥α， ⇒α⊥β 梳理 平面与平面垂直的判定定理 a⊂β 垂线 思考　 知识点三　平面与平面垂直的性质定理 黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ 答案 答案　容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直. 梳理 文字语言 图形语言 符号语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内____ 垂直于另一个平面 α⊥β，α∩β＝CD，BA⊂α，BA⊥CD，B为垂足⇒BA⊥β 垂直 于它们交线的直线 题型探究 例1　如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上，求证：平面AEC⊥平面PDB. 类型一　面面垂直的判定 证明 证明　设AC∩BD＝O，连接OE， ∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线， ∴AC⊥平面PDB. 又∵AC⊂平面AEC， ∴平面AEC⊥平面PDB. 应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤 反思与感悟 跟踪训练1　如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝ AA1，D是棱AA1的中点.证明：平面BDC1⊥平面BDC. 证明 证明　由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C， 所以BC⊥平面ACC1A1. 又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°， 即DC1⊥DC. 又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC. 又DC1⊂平面BDC1，所以平面BDC1⊥平面BDC. 例2　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC. 求证：BC⊥AB. 类型二　面面垂直的性质定理及应用 证明 证明　如图，在平面PAB内， 作AD⊥PB于D. ∵平面PAB⊥平面PBC， 且平面PAB∩平面PBC＝PB. ∴AD⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A， ∴BC⊥平面PAB. 又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB. 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直.(2)直线必须在其中一个平面内.(3)直线必须垂直于它们的交线. 反思与感悟 跟踪训练2　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点. 求证：(1)BG⊥平面PAD； 证明 证明　平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD. ∴BG⊥平面PAD. (2)AD⊥PB. 证明 证明　由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD. 又BG∩PG＝G， ∴AD⊥平面PBG，又PB⊂平面PBG， ∴AD⊥PB. 类型三　垂直关系的综合应用 证明 例3　如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M，N分别是AE，AC的中点，求证：(1)DE＝DA； 证明　取CE的中点F，连接DF，易知DF∥BC， 因为CE⊥平面ABC， 所以CE⊥BC，所以CE⊥DF. 因为BD∥CE，所以BD⊥平面ABC， 所以BD⊥AB. 在Rt△EFD和Rt△DBA中， 所以Rt△EFD≌Rt△DBA， 所以DE＝DA. (2)平面