平面几何在解析几何中的巧用

平面几何在解析几何中的巧用 一.三角形中位线定理 例1. 椭圆 的两焦点为 ，椭圆上一点 到左焦点 的距离为3， 为 的中点，求 的长 解：连接 ，因为 为 的中点， 为 中点 所以 因为椭圆上一点 到左焦点 的距离为3， 所以 所以 二.角平分线定理 例2. 已知椭圆 上一点P到两焦点距离分别为 和 ，且P与两焦点连线张角的平分线交x轴于点Q（1,0），求椭圆的方程。 解：由题意 得： 因为点P与两焦点连线张角的平分线交x轴于点Q（1,0）， 由角平分线定理可得： 所以 所以 所以椭圆方程为： 三. 四点共圆判定定理 如图,已知点C的坐标是(2 , 2) , 过点C直线CA与x轴交于点A,过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B,设点M是线段AB的中点,求点M的轨迹方程. 解法：因为 所以O、A、C、B四点在以AB为直径的圆上 所以 即M点轨迹是垂直于OC的中垂线，方程为 四.平行线性质 例3.已知过抛物线 焦点F的直线交抛物线于A、B两点，A、B在抛物线准线上的射影分别为 .求证： 证明：由 和 得 所以 五. 对称性 例4.已知 为焦点的椭圆C： 的两个焦点，P为椭圆上的点.若 ，求 的面积. 解：连接PO并延长交椭圆于A，连 .由椭圆的对称性及平面几何知识知， , 中，利用余弦定理可解出 所以 六. 中线定理 例6.已知圆O的方程是： ，定点P（4,0），如图作矩形APBQ（A、B两点在圆上），求矩形的顶点Q的轨迹方程. 解：如图所示，连接 ( 为矩形 的对角线的交点)，由平面几何的中线定理知识可知： 在 中， 在 中， 因为 所以 所以 所以Q的轨迹方程为： . 七.射影定理 例7. 点A、B、C依次在直线 上，且 ,过C作 的垂线，M是这条垂线上的动点，以A为圆心，|AB|为半径作圆， 与 是这个圆的切线，求 垂心的轨迹. 解：如图，以A为原点，直线AB为x轴建立坐标系，H为 的垂心，N为 与AM的交点，设 ，以A为圆心的方程为： ，连接 因为 所以 ，同理 又因为 所以四边形 是菱形 所以 又因为 由射影定理得： 设点H坐标为 ，点M坐标为 ，则点N坐标为 ， 将坐标代入 ，再由 得： . 在AB上取点k，使得 .所求轨迹是以K为圆心，AK为半径的圆. 八. 切割线定理 例8.已知直线 和圆C： 相交于不同两点A、B，点P在直线 上，且满足 ,当