1.1.2 集合的包含关系（学案）-2018年数学同步优化指导（湘教版必修1）

1.1.2　集合的包含关系 1．明确子集、真子集、两集合相等的概念； 2．会用符号表示两个集合之间的关系； 3．能根据两集合之间的关系求解参数的范围； 4．知道全集、补集的概念，会求集合的补集． [来源:学.科.网] 1．集合之间的关系[来源:学科网ZXXK] 关系 概念 符号 表示 图形表示 子集 如果集合B的每个元素都是集合A的元素，就说B包含于A，或者说A包含B.若B包含于A，称B是A的一个子集 B⊆A 真子 集 如果B是A的子集，但A不是B的子集，就说B是A的真子集 B(A 集合 相等 如果B是A 的子集，A也是B的子集，就说两个集合相等 A＝B 全集、 补集 如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合I的元素和子集，就可以约定把集合I叫作全集．若A是全集I的子集，I中不属于A的元素组成的子集叫作A的补集 ∁IA 2．常用结论[来源:学科网] (1)任意一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A. (2)空集是任意一个集合的子集，即对任意集合A，都有∅⊆A.空集是任意非空集合的真子集． 1．已知P＝{1}，M＝{0,1,4}，下列式子不正确的是(　　) A．P(M B．P⊆M C．1∈P D．1⊆M 解析：∵P＝{1}，M＝{0,1,4}， ∴P⊆M，P(M及1∈P均正确． 答案：D 2．集合{1,2,3}的真子集共有(　　) A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 解析：集合{1,2,3}共有3个元素，其真子集共有23－1＝7(个)． 答案：C 3．已知全集为R，集合A＝{x|x<1，或x≥5}，则∁RA＝________. 解析：如图所示，集合A＝{x|x<1，或x≥5}的补集是∁RA＝{x|1≤x<5}． 答案：{x|1≤x<5} 4．已知集合A＝{x,2}，集合B＝{3，y}，若A＝B，则x＝________，y＝________. 解析：∵A＝B，∴A，B中元素相同． ∴x＝3，y＝2. 答案：3　2 集合的子集和真子集 1．对子集、真子集有关概念的理解 (1)判断A⊆B的常用方法：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B. (2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素． (3)在真子集的定义A(B中，首先要满足A⊆B，其次满足至少有一个x∈B，但x∉A. 2．求集合子集的个数 求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．[来源:学|科|网] 集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉． 3．集合的相等 (1)集合A与集合B相等，就是集合A，B中的元素完全一致． (2)集合“A＝B”可与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a＝b”相类比，即“若A⊆B，且B⊆A，则A＝B”．反之，若A＝B，则A⊆B，B⊆A.[来源:学*科*网] (3)若两集合元素个数不多，则常用列举法列出所有元素，然后看元素是否完全相同． 求满足条件{x|x2＋1＝0}(M⊆{x|x2－1＝0}的集合M的个数． [自主解答]因为{x|x2＋1＝0}＝∅，{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，其非空子集为{－1}，{1}，{－1,1}，所以满足条件{x|x2＋1＝0}(M⊆{x|x2－1＝0}的集合M共有3个． [点评]本题抓住“⊆”和“(”的含义，将符号语言转化为自然语言，最后转化为求{x|x2－1＝0}的非空子集的个数，体现了转化与化归的数学思想． [来源:Z,xx,k.Com] 　若{1,2,3}(A⊆{1,2,3,4,5}，则集合A的个数为(　　) A．2　　 B．3 C．4　　 D．5 解析：集合{1,2,3}是集合A的真子集，同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集，所以集合A只能取集合{1,2,3,4}，{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}． 答案：B 全集和补集 关于全集、补集应注意以下四点： (1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集I的子集，所选全集不同，得到的补集也不同，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念． (2)对于全集I中的每一个元素x，x∈A与x∈∁IA二者有且只有一个成立． (3)∁IA包含三层意思：①A⊆I；②∁IA是一个集合，且∁IA⊆I；③∁IA是由I中所有不属于A的元素构成的集合． (4)与补集有关的常见结论： 若A⊆B，则∁IA⊇∁IB；若∁IB⊆∁IA，则A⊆B； 若A＝B，则∁IA＝∁IB；若∁IA＝∁IB，则A＝B. 设全集U