1.1.3 集合的交与并（学案）-2018年数学同步优化指导（湘教版必修1）

1.1.3　集合的交与并 1．能说出两个集合的交集与并集的含义； 2．会求两个集合的交集、并集；[来源:学科网] 3．能记住充分条件、必要条件、充要条件的定义； 4．会判断充分条件、必要条件、充要条件． 1．维恩(Venn)图 用来表示集合关系和运算的图，叫维恩(Venn)图． 2．并集与交集的概念 知识点 自然语言描述[来源:学,科,网] 符号语言表示 Venn图表示 交集 在数学里，把所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A，B的交集. A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集[来源:Z。xx。k.Com] 把集合A，B中的元素放在一起组成的集合，叫作A和B的并集. A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 3．交集与并集的运算性质 交集的运算性质 并集的运算性质 A∩B＝B∩A[来源:Zxxk.Com] A∪B＝B∪A A∩A＝A A∪A＝A A∩∅＝∅ A∪∅＝A 4．集合与推理 一般来说，甲⇒乙，称甲是乙的充分条件，也称乙是甲的必要条件．如果既有甲⇒乙，又有乙⇒甲，就说甲是乙的充分必要条件，简称充要条件． 1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于(　　)[来源:Z+xx+k.Com] A．{0} B．{1,2} C．{1,2,3,4} D．{0,1,2,3,4} 解析：∵集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}， ∴集合A∪B＝{0,1,2,3,4}．[来源:学,科,网] 答案：D 2．“x＞2”是“x＞1”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．以上都不对 解析：由x＞2一定可推得x＞1，但由x＞1不一定推得x＞2，所以“x＞2”是“x＞1”的充分而不必要条件． 答案：A 3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3}，则A∩B＝(　　) A．{2}　 B．{1,2} C．{1,3}　 D．{1,2,3} 解析：直接根据集合的交集进行运算． A∩B＝{1,2,3}∩{1,3}＝{1,3}． 答案：C[来源:Zxxk.Com] 4．已知集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|0<x≤3}，则A∪B＝________，A∩B＝________. 解析：如图所示： ∴A∪B＝{x|－1≤x≤3}，A∩B＝{x|0<x<2}． 答案：{x|－1≤x≤3}　{x|0<x<2} 两个集合的交 1．对交集概念的理解 对于“A∩B＝{x|x∈A且x∈B}”，不能仅认为A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素，同时还有A与B的公共元素都属于A∩B的含义，这就是文字定义中“所有”二字的含义．并不是任何两个集合总有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅. 2．交集的常用运算性质 (1)A∩∅＝∅，A∩I＝A(I为全集)． (2)A∩B⊆A，A∩B⊆B. (3)A∩∁IA＝∅(I为全集)． (4)(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)． 已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|－1<x<2}，则A∩B＝(　　) A．{x|－1<x<2} B．{x|x>－1} C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<2} [自主解答]如图所示． A∩B＝{x|x>1}∩{x|－1<x<2}＝{x|1<x<2}． 答案：D [点评]求交集与求并集的解法一样，需要注意的是：借助数轴解决问题时，最易出错的地方是各段的端点，因此端点能否取到，在数轴上一定要标注清楚．当端点在集合中时，应用实心点表示；当端点不在集合中时，应用空心圈表示． 【互动探究】 　本例中，将集合A改为{x|x＞a}，集合B不变，求A∩B. 解：如图所示． 　 当a≤－1时，B⊆A，A∩B＝B＝{x|－1＜x＜2}； 当－1＜a＜2时，A∩B＝{x|a＜x＜2}； 当a≥2时，A∩B＝∅. 两个集合的并 1．对并集概念的理解[来源:学科网] 集合A∪B由所有属于A或属于B的元素组成，此处的“或”与生活用语中的“或”的含义是不同的，生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，并不兼存；而此处并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或彼此”，可兼有．“x∈A或x∈B”包含三种情形：①x∈A且x∉B；②x∈B且x∉A；③x∈A且x∈B. 2．并集的常用运算性质 (1)A∪∅＝A，A∪I＝I(I为全集)． (2)A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)． (3)A∪∁IA＝I(I为全集)． (4)(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)． 已知集合A＝{x|x－2＞3}，B＝{x|2x－3＞3x－a}，求A∪B. [自主解答]A＝{x|x－2＞3}＝{x|x＞5}，[来源:Zxxk.Com] B＝{x|2x－3＞3x－a}＝{x|x＜a－3}． 如图所示． (1)当a－3≤5，即a