1.2.1 对应、映射和函数（学案）-2018年数学同步优化指导（湘教版必修1）

1.2.1　对应、映射和函数 1．通过丰富的实例，了解对应的思想和映射的概念及表示方法； 2．了解象、原象的概念； 3．从初中数学课程中已知的函数概念出发，理解“函数也是映射”； 4．理解函数的概念及函数的三要素：对应法则、定义域和值域． [来源:学_科_网Z_X_X_K] 1．映射 (1)在数学里，把集合到集合的确定性的对应说成是映射． (2)映射的定义：设A，B是两个非空的集合．如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B的映射，记作f：A→B. (3)在映射f：A→B中，集合A叫作映射的定义域，与A中元素x对应的B中的元素y叫x的象，记作y＝f(x)，x叫作y的原象． 2．函数 (1)函数就是数集到数集的映射． (2)函数的定义：设A，B是两个非空的数集．如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，这样的对应f叫作定义于A取值于B的函数，记作f：A→B，或者y＝f(x)(x∈A，y∈B)． (3)在函数y＝f(x)(x∈A，y∈B)中，A叫作函数的定义域，与x∈A对应的数y叫作x的象，记作y＝f(x)，由所有x∈A的象组成的集合叫作函数的值域． (4)函数的三要素：①对应法则；②定义域；③值域． 1．已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射的是(　　) 解析：在映射中允许“多对一”，但不允许“一对多”．[来源:学科网] 答案：C 2．对于集合A到集合B的映射，下列理解不正确的是(　　) A．A中的元素在B中一定有象 B．B中的元素在A中可能没有原象 C．集合A中的元素与集合B中的元素一一对应 D．设A＝B＝R，那么y＝x2是A到B的一个映射 解析：在A到B的映射中，A中的元素与B中元素不一定是一一对应，可以多对一，选C． 答案：C 3．函数f(x)＝x＋的定义域是(　　)[来源:Zxxk.Com] A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，2] D．(－∞，2) 解析：要使函数f(x)有意义，只需2－x≥0，即x≤2.故函数f(x) 的定义域为{x|x≤2}． 答案：C 4．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为________． 解析：由函数的定义可知，当x＝0时，y＝0，[来源:学科网ZXXK] 当x＝1时，y＝1－2＝－1， 当x＝2时，y＝4－4＝0， 当x＝3时，y＝9－6＝3.[来源:学_科_网] ∴值域为{－1,0,3}． 答案：{－1,0,3} 映射的概念 对映射概念的理解： (1)映射的定义可以概括为“取元任意性，成象唯一性”； (2)映射的三要素：集合A、集合B、集合A到集合B的对应法则f； (3)A中的元素不可剩余，B中元素可剩余； (4)可以是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”，如下图所示的对应就不是映射； (5)映射具有方向性：f：A→B与f：B→A一般是不同的映射． 判断下列对应关系中哪些是从集合A到集合B的映射，哪些不是，并说明理由． (1)A＝B＝N＋，对应关系f：x→y＝|x－3|. (2)A＝R，B＝{x|x是非负实数}，对应关系f：y＝x2. (3)A＝R，B＝{0,1}，对应关系f：x→y＝ (4)A＝Z，B＝Q，对应关系f：x→y＝. [自主解答](1)对于集合A中的元素3，在对应法则f的作用下得到0，但0∉B，即3在集合B中没有元素与之对应，所以这种对应不是映射． (2)对于集合A中的任何一个实数x，都有x2≥0，即x2是非负实数，在B中都有唯一的元素与之对应，所以这个对应是从A到B的映射． (3)对于集合A中任意一个非负数，B中都有唯一元素1与之对应，对于A中任意一个负数，B中都有唯一元素0与之对应，所以这种对应是映射． (4)集合A中的数0在集合B中没有元素与之对应，故不是映射． [点评]逐一检验每个对应关系是否满足映射的定义，先看A中是否每个元素在B中都有与之对应的元素，再看A中元素对应的象是否唯一． 　图中的各个对应能构成映射的个数是(　　) A．3　　 B．4 C．5　　 D．6 解析：(1)(2)(3)这三个图所表示的对应都符合映射的定义，即在对应关系下，A中每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应． 对于(4)(5)，A中的每一个元素在B中有2个元素与之对应，所以不是A到B的映射． 对于(6)，A中的元素a3，a4在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射． 综上可知，能构成映射的个数为3. 答案：A 映射的象与原象 对于给出原象求象的问题，只需将原象代入对应法则，即可求出象．对于给出象求原象的问题，可以先设原象，再代入对应法则中得到象，可通过解方程等求出原象；也可根据对应法则，由