1.2.4 从解析式看函数的性质（学案）-2018年数学同步优化指导（湘教版必修1）

1.2.4　从解析式看函数的性质 1．能说出函数的上界、下界的含义； 2．能说出函数的最大值与最小值的定义，知道什么是函数的最大值点和最小值点；[来源:Zxxk.Com] 3．能记住函数单调性的定义； 4．理解差分的概念，能运用差分检验函数的增减性． 1．函数的上界和下界 (1)上界和下界：设D是函数f(x)的定义域，如果有实数B，使得f(x)≤B对于一切x∈D成立，就称B是函数f的一个上界；如果有实数A，使得f(x)≥A对于一切x∈D成立，就称A是函数f的一个下界． (2)有上界又有下界的函数叫有界函数，否则叫无界函数． 2．函数的最大值与最小值 (1)函数最大值的定义：设D是函数f(x)的定义域，如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点． (2)函数最小值的定义：设D是函数f(x)的定义域，如果有b∈D，使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝b处取到最小值f(b)，称f(b)为f(x)的最小值，b为f(x)的最小值点． 3．函数的单调性 (1)函数的单调性定义：设I是f(x)定义域D的一个非空子集，如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，就说f(x)是区间I上的递增函数；如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，就说f(x)是区间I上的递减函数． (2)如果函数y＝f(x)是区间I上的递增函数或递减函数，就说f(x)在I上严格单调，区间I叫作f(x)的严格单调区间． (3)对于函数f(x)，设h＞0，差式f(x＋h)－f(x)叫作函数在区间I上的差分．差分为正的函数就是递增函数，差分为负的函数就是递减函数． 1．若函数f(x)在R上是递增函数，则有(　　) A．f(5)<f(7) B．f(5)>f(7)[来源:学*科*网] C．f(5)≤f(7) D．f(5)≥f(7) 解析：因为函数f(x)在R上递增，所以由5<7，得f(5)<f(7)．[来源:学_科_网Z_X_X_K] 答案：A 2．函数y＝－x2的单调减区间是(　　) A．[0，＋∞)　 B．(－∞，0] C．(－∞，0)　 D．(－∞，＋∞) 解析：画出y＝－x2在R上的图象，可知函数在[0，＋∞)上递减． 答案：A 3．函数y＝x－1在区间[3,6]上的最大值和最小值分别是(　　) A．6,3 B．5,2 C．9,3 D．7,4 解析：函数y＝x－1在区间[3,6]上是增函数，则当3≤x≤6时，f(3)≤f(x)≤f(6)，即2≤y≤5，所以最大值和最小值分别是5,2. 答案：B 4．若函数y＝－在(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是________． 解析：由反比例函数的单调性知，－b>0，∴b<0.[来源:学§科§网Z§X§X§K] 答案：(－∞，0) 判断或证明函数的单调性 1．差分定义 在函数单调性的定义中，记x＝x1，x＋h＝x2，条件x1<x2可以写成h>0，f(x1)<f(x2)可以写成f(x＋h)－f(x)>0，f(x1)>f(x2)可以写成f(x＋h)－f(x)<0.差式f(x＋h)－f(x)叫作函数在区间I上的差分． 2．注意 (1)如果不加说明，总认为h>0.这样，差分为正的函数就是递增函数，差分为负的函数就是递减函数． (2)用差分判断函数的单调性其实质是利用定义，因此差分法也可称为定义法．[来源:学科网ZXXK] 证明函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是递增函数． [自主解答]f(x＋h)＝x＋h＋， ∴f(x＋h)－f(x)＝x＋h＋－x－ ＝h＋.＝＝h－－ ∵h＞0，x＞1，∴hx2＋h2x－h＞0，x(x＋h)＞0. ∴＞0，即差分f(x＋h)－f(x)＞0. ∴f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是递增函数． [点评]差分法判断函数单调性的步骤： (1)求差分：f(x＋h)－f(x)； (2)变形：通过因式分解、配方、通分、有理化等，向有利于判断差分符号的方向变形； (3)判号：确定差分的符号；[来源:学科网] (4)定论：根据定义作出结论． 　证明函数f(x)＝在(0，＋∞)上为单调递减函数． 证明：f(x＋h)－f(x)＝.＝－ ∵x＞0，h＞0， ∴＜0，即差分f(x＋h)－f(x)＜0. 故f(x)＝在(0，＋∞)上为单调递减函数． 单调函数的最值 1．函数的最大(小)值的定义 设D是函数f(x)的定义域，如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点． 如果有b∈D，使得不等式f(x)≥f(b)对