1.2.5 函数的定义域和值域（学案）-2018年数学同步优化指导（湘教版必修1）

1.2.5　函数的定义域和值域 1．知道什么是函数的定义域和值域； 2．会求一些常见函数的定义域； 3．会求一些简单函数的值域． 1．函数的定义域 (1)实际问题中的函数，它的自变量的值不但要使函数表达式有意义，还受到实际问题的限制，要符合实际情形． (2)函数的定义域就是使函数的表达式有意义的自变量的变化范围．[来源:学&科&网Z&X&X&K] 2．函数的值域 (1)函数的值域是指函数值的集合． (2)常数函数y＝c的值域是{c}，一次函数y＝ax＋b的值域是R，反比例函数y＝的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 1．函数y＝的定义域是(　　) ＋ A．{x|x≤1}　　 B．{x|x≥0} C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1} 解析：由得0≤x≤1. 答案：D 2．函数y＝x－在[1,2]上的最大值为(　　)[来源:学科网ZXXK] A．0　　 B． C．2　　 D．3 解析：y＝x－在[1,2]上是递增函数，[来源:Zxxk.Com] ∴ymax＝2－.＝ 答案：B 3．函数y＝的定义域为________． 解析：依题意知 ∴x≥－4且x≠－2. 答案：{x|x≥－4且x≠－2} 4．已知函数g(x)＝3x＋1，x∈{0,1,2,3,4}，它的值域为______． 解析：g(0)＝3×0＋1＝1，g(1)＝3×1＋1＝4， g(2)＝3×2＋1＝7，g(3)＝3×3＋1＝10， g(4)＝3×4＋1＝13. 答案：{1,4,7,10,13} 求函数的定义域 函数的定义域指自变量x的取值范围． 1．当函数以解析式形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合； 2．当函数以实际问题形式给出时，其定义域不仅要使其解析式有意义，还要符合实际意义； 3．求函数的定义域一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 求下列函数的定义域： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝； · (3)f(x)＝.＋ [自主解答](1)依题意有1＋x≠0，即x≠－1. ∴定义域为{x|x≠－1}． (2)依题意有∴x≥1. ∴定义域为{x|x≥1}． (3)依题意有∴x≥－1且x≠2. ∴定义域为{x|x≥－1且x≠2}． [点评]1.求函数的定义域之前，不能对函数的解析式进行变形，否则可能会引起函数定义域的变化．[来源:Zxxk.Com] 2．求函数的定义域，其实质就是以使函数的解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．其准则一般有如下几点：(1)分式中，分母不为零；(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对于y＝x0要求x≠0；(4)由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束． 3．如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．[来源:Z*xx*k.Com] 　求下列函数的定义域： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝； (3)y＝. 解：(1)要使函数f(x)＝有意义， 必须满足x－1≥0，即x≥1. ∴函数f(x)＝的定义域为{x|x≥1}． (2)要使函数f(x)＝有意义，必须满足x＋1≠0，即x≠－1. ∴函数f(x)＝的定义域为{x|x≠－1}． (3)∵00无意义，∴x＋1≠0，即x≠－1. 又∵分母不能为0，偶次算术方根的被开方数不能为负，∴|x|－x>0.∴x<0.[来源:Z*xx*k.Com] 综上，原函数的定义域为{x|x<0且x≠－1}． 求函数的值域 1．对于函数y＝f(x)，x∈A，与x的值相对应的y值叫函数值．如函数y＝x2＋4x＋3，当x＝5时， y＝52＋4×5＋3＝48叫x＝5时的函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域． 2．求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数，其值域是指集合C＝{y|y＝f(x)，x∈A}；二是函数的定义域和对应法则，对应法则相同，而定义域不同，其值域可能不同，如f(x)＝x2－2x，x∈[0,2]与f(x)＝x2－2x，x∈R. 3．求函数的值域，就目前阶段主要用观察法、配方法，函数的图象在求函数的值域时也起着十分重要的作用． 求下列函数的值域： (1)f(x)＝x2＋2x－3，x∈{－2，－1,0,1,3}； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝x－1＋. [自主解答](1)∵f(－2)＝－3，f(－1)＝－4， f(0)＝－3，f(1)＝0，f(3)＝12， ∴函数值域为{－4，－3,0, 12}． (2)方法一　由y＝，得yx＋2y＝3x－1，即(3－y)x＝2y＋1. 只要3－y≠0，即y≠3，就有x＝. 故该函数的值域是{y|y∈R且y≠3}． 方法二：∵y