2.1.2 第1课时 指数函数的图象和性质（学案）-2018年数学同步优化指导（湘教版必修1）

2.1.2　指数函数的图象和性质 第1课时　指数函数的图象和性质 1．理解指数函数的概念； 2．通过具体指数函数的图象，体会指数函数的图象与底数a的关系； 3．掌握指数函数的图象与性质及其简单应用． 1．函数y＝ax叫作指数函数，其中a是不等于1的正实数，函数的定义域是R. 2．从图象可以“读”出的指数函数y＝ax(a>1)的性质： (1)图象总在x轴上方，且图象在y轴上的射影是y轴正半轴(不包括原点)，由此，函数的值域是R＋； (2)图象恒过点(0,1)，用式子表示就是a0＝1； (3)函数是区间(－∞，＋∞)上的递增函数，由此有：当x>0时，有ax>a0＝1；当x<0时，有0<ax<a0＝1. 3．如果底数a∈(0,1)，那么，它的倒数x的图象关于y轴对称． －x，它的图象和y＝>1，y＝ax＝ 4．函数y＝ax(0<a<1)的性质： (1)图象总在x轴上方，且图象在y轴上的射影是y轴正半轴(不包括原点)，由此，函数的值域是R＋； (2)图象恒过点(0,1)，用式子表示就是a0＝1； (3)函数是区间(－∞，＋∞)上的递减函数，由此有：当x>0时，有0<ax<a0＝1；当x<0时，有ax>a0＝1. 5．函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称． 6．指数函数y＝f(x)有如下性质：f(m＋n)＝f(m)·f(n)，这是指数函数的最基本的性质． 1．下列函数是指数函数的是(　　) A．y＝(－3)x B．y＝－3x C．y＝3x D．y＝2x＋1 解析：根据指数函数的概念可知C符合要求． 答案：C 2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图，则(　　) A．a＜0，b＜0 B．a＜0，b＞0 C．0＜a＜1，b＞1 D．0＜a＜1,0＜b＜1 解析：指数函数在底数大于1时单调递增，底数大于0且小于1时单调递减． 答案：C 3．指数函数的图象过点，则底数a的值为________． 解析：将.代入y＝ax，得a2＝ ∵a>0且a≠1，∴a＝. 答案： 4．函数y＝x2的值域是________． 解析：∵x2≥0， ∴y＝0＝1.x2≤ 又y＞0，∴函数值域为(0,1]． 答案：(0,1] 指数函数的概念 指数函数的结构特征 判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，a≠1)这一结构形式． 指数函数具有以下特征： ①底数a是大于0且不等于1的常数，不含自变量x； ②指数位置是自变量x，且x的系数是1； ③ax的系数是1. 函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值． 思路点拨：―→―→ [自主解答]∵y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数， ∴解得 ∴a＝2. [点评]1.判断一个函数是否为指数函数的方法 判断一个函数是否是指数函数，关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征： (1)底数a＞0，且a≠1. (2)ax的系数为1.[来源:学科网ZXXK] (3)y＝ax中，a是常数，x为自变量，自变量在指数位置上． 2．已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤 (1)下列函数中，哪些是指数函数？ ①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax； ④y＝(2a－1)x；⑤y＝2·3x. (2)已知指数函数f(x)的图象经过点(2,9)，求f(1)及f(－2)的值． 解：(1)④为指数函数． ①中底数－8＜0， ∴不是指数函数． ②中指数不是自变量x，而是x的函数， ∴不是指数函数． ③中底数a，只有规定a＞0且a≠1时，才是指数函数． ⑤中3x前的系数是2，而不是1， ∴不是指数函数． (2)设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)． ∵f(2)＝9，∴a2＝9.解得a＝3. ∴f(x)＝3x. ∴f(1)＝3，f(－2)＝3－2＝. 指数函数的图象 1．根据底数不同，指数函数的图象分为两类： (1)当0＜a＜1时，指数函数y＝ax是定义域R上的减函数；[来源:学科网] (2)当a＞1时，指数函数y＝ax是定义域R上的增函数． 2．不论底数(大于0且不等于1)取何值，指数函数的图象恒过点(0,1)．即要求指数型函数过定点，只需使指数位置等于0. 如图是指数函数：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) [来源:Zxxk.Com] A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c [自主解答]方法一　在①②中，底数大于0且小于1，在y轴右边，底数越小，图象向下越靠近x轴，故有b＜a；在③④中，底数大于1，在y轴右边，底数越大，图象向上越靠近y轴，故有d<c.故选B． 方法二　作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，如图．由于将x＝1代入各个函数可得函数值等于底数，所以点的纵坐标越