1.2.6 分段函数（学案）-2018年数学同步优化指导（湘教版必修1）

1.2.6　分段函数 1．能说出分段函数的定义； 2．能根据题意用分段函数表示函数关系； 3.能画出分段函数的图象； 4．能求分段函数的函数值或由函数值求自变量的值． 1．如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数． 2．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 3．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 4．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 1．下列图形是函数y＝－|x|(x∈[－2,2])的图象的是(　　) 解析：y＝－|x|＝其图象是x轴下方的两条线段，包括x＝±2时的两个端点．[来源:Z。xx。k.Com] 答案：B 2．已知函数f(x)＝则f(－2)等于(　　) A．1　 B．2 C．3 D．4[来源:学科网ZXXK] 解析：∵－2＜0，∴f(－2)＝－2(－2＋1)＝2. 答案：B 3．函数y＝的定义域为________． 解析：{x|x＞0}∪{x|x<0}＝{x|x≠0}． 答案：{x|x≠0} 4．已知函数f(x)＝则f(1)＋f(－1)＝________. 解析：∵f(1)＝2×1＋1＝3，f(－1)＝－2×(－1)＋1＝3，∴f(1)＋f(－1)＝3＋3＝6. 答案：6 分段函数求值 1．分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏． 2．求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式． 已知函数f(x)＝ (1)求f的值； (2)若f(x)＝2，求x的值． [自主解答](1)f，＋2＝＝ ∴f.2＝＝＝f ∴f.＝×＝＝f (2)当f(x)＝x＋2＝2时，x＝0, 不符合x＜0. 当f(x)＝x2＝2时，x＝±， 其中x＝符合0≤x＜2. 当f(x)＝x＝2时，x＝4，符合x≥2. 综上，x的值是或4. [点评]1.求分段函数的函数值的步骤： (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知函数值求字母取值的步骤： (1)分类讨论字母的取值范围． (2)代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． 【互动探究】 本例已知条件不变，若f(x)＝－2，求x的值． 解：当x＋2＝－2时，x＝－4，符合x＜0.当x2＝－2时，无解． 当x＝－2时，x＝－4，不符合x≥2.[来源:学_科_网] 综上，x的值是－4.[来源:Zxxk.Com] 分段函数的图象 分段函数是由几部分构成的，但它代表的仍是一个函数． 1．作分段函数的图象时，应按分段分别作出其图象， 在作每一段图象时，先不管定义域的限制，用虚线作出整个图象，再用实线保留定义域内的一段图象，即“分段作图”． 2．画分段函数的图象时，一定要注意是否包含区间端点． 3．函数的图象不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可以是一些点、一些线段、一段曲线等．[来源:Zxxk.Com] 已知f(x)＝ (1)画出f(x)的图象； (2)求f(x)的定义域和值域． [自主解答](1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示． (2)由条件知，函数f(x)的定义域为R. 由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为 [0,1]；当x>1或x<－1时，f(x)＝1.所以f(x)的值域为[0,1]． [点评]1.作图时要特别注意端点处点的虚实；若端点包含在内，则用实点“·”表示，若端点不包含在内，则用虚点“∘”表示，保证不重不漏．[来源:学,科,网Z,X,X,K] 2．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象． 　已知函数f(x)＝1＋(－2＜x≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数；[来源:学_科_网Z_X_X_K] (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域． 解：(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1； 当－2＜x＜0时，f(x)＝1＋＝1－x. ∴f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)． 分段函数的实际应用 对于分段函数的应用问题，首先要在阅读材料，理解题意的基础上，把实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，再利用数学模型得出数学结论，最后把数学结论(结果)返回到实际问题中，注意实际问题中隐含的定义域． 某人驱车以52 km/h的速度从A地驶往260 km远处的B地，到达B地后没有停留，再以65 km/h的速度返回A地．试将此