1.2.7 二次函数的图象和性质——增减性和最值（学案）-2018年数学同步优化指导（湘教版必修1）

1.2.7　二次函数的图象和性质——增减性和最值 1．会分析一个具体的二次函数的图象的开口方向和顶点坐标； 2．能作出二次函数的图象； 3．会分析二次函数的单调性和最值； 4．能运用二次函数解决简单的实际问题．[来源:学|科|网] 　二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)，当a＞0(a＜0)时，在区间，这里Δ＝b2－4ac.[来源:学|科|网Z|X|X|K]＝－处取到最小(大)值f上递增(递减)，图象曲线开口向上(下)，在x＝－上递减(递增)，在 1．若f(x)＝(m－1)x2＋(m＋1)x－1是二次函数，则(　　) A．m为任意实数 B．m≠1 C．m≠－1 D．m≠1且m≠－1 解析：由m－1≠0，得m≠1，故选B． 答案：B 2．二次函数y＝x2－x＋2 016的开口方向是(　　) A．向上 B．向下 C．可能向上也可能向下 D．向左 解析：因为二次项系数>0，所以二次函数图象开口向上． 答案：A 3．若二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点为(－1，－3)，则b＋c＝________. 解析：由已知，得解得 ∴b＋c＝－6. 答案：－6 4．二次函数y＝－x2－4x＋3的值域是______． 解析：y＝－x2－4x＋3＝－(x2＋4x＋4)＋7＝－(x＋2)2＋7.[来源:学_科_网] 所以这个函数的值域是(－∞，7]． 答案：(－∞，7] 二次函数的图象和性质 在利用数形结合的思想解决与二次函数的图象有关的问题时，只需要画出二次函数的大致图象(画出开口方向、与坐标轴的交点、顶点)． 已知二次函数y＝2x2－4x－6. (1)求此函数图象的开口方向、顶点坐标，并画出函数图象； (2)求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形面积；[来源:Zxxk.Com] (3) x为何值时，y>0，y＝0，y<0? [自主解答](1)配方，得y＝2(x－1)2－8. ∵a＝2>0， ∴函数图象开口向上，顶点坐标是(1，－8)． 列表： x －1 0[来源:学+科+网Z+X+X+K] 1 2 3 y 0 －6 －8 －6 0 描点并画图，得函数y＝2x2－4x－6的图象，如图所示． (2)由图象得，函数图象与x轴的交点坐标为A(－1,0)，B(3,0)，与y轴的交点坐标为C(0，－6)． S△ABC＝×4×6＝12.|AB|·|OC|＝ (3)由函数图象知，当x<－1或x>3时，y>0；当x＝－1或x＝3时，y＝0；当－1<x<3时，y<0.[来源:Z§xx§k.Com] [点评]观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定－的符号，另外还要注意与x轴的交点、函数的单调性等，从而解决其他问题． (1)函数f(x)＝4－x(x－2)的顶点坐标和对称轴方程分别是(　　) A．(2,4)，x＝2　 B．(1,5)，x＝1 C．(5,1)，x＝1 D．(1,5)，x＝5 (2)函数y＝x2－x＋1的值域是(　　) A．R B．[1，＋∞) C． D． 解析：(1)f(x)＝4－x(x－2)＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5.∴函数f(x)的图象的顶点坐标为(1,5)，对称轴方程为x＝1. (2)y＝.≥2＋ 答案：(1) B　(2)C 二次函数的增减性和最值 研究二次函数的增减性和最值问题时常常把二次函数配方成顶点式的形式． 已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是递增函数，求m的取值范围． [自主解答]函数的对称轴为x＝， 又函数在区间[－2，＋∞)上是递增函数， ∴≤－2，即m≤－16. ∴m∈(－∞，－16]． [点评]f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在上是递增函数．上是递减函数，在 [来源:Zxxk.Com] 　已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数． 解：(1)当a＝－1时， f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]． ∴当x＝1时，f(x)min＝1； 当x＝－5时，f(x)max＝37. (2)f(x)＝(x＋a)2＋2－a2， 其图象对称轴为x＝－a. ∵f(x)在区间[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5或－a≥5. 故a的取值范围是a≤－5或a≥5. 二次函数的应用 建立二次函数模型可以解决生活中的最优化问题，值得注意的是，在求二次函数的最值时，切记要注意自变量的取值范围． 某商店将进货价为每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个．商店经理到市场上做了一番调查后发现：若将这种商品的售价(在