1.2.8 二次函数的图象和性质——对称性（学案）-2018年数学同步优化指导（湘教版必修1）

1.2.8　二次函数的图象和性质——对称性 1．能说出奇函数和偶函数的定义，并能进行证明； 2．会分析二次函数图象的对称性； 3．能求一个二次函数在闭区间上的最值．[来源:Zxxk.Com] 1．函数的奇偶性 (1)如果对一切使F(x )有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x)成立，则称F(x)为偶函数． (2)如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)为奇函数． 2．二次函数图象的对称性 (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线x＝－. (2)如果函数f(x)对任意的h都有f(s＋h)＝f(s－h)，那么f(x)的图象关于直线x＝s对称． 1．下列函数中为奇函数的是(　　) A．y＝|x|　　 B．y＝3－x C．y＝ D．y＝－x2＋4 解析：A项和D项中的函数为偶函数，B项中的函数是非奇非偶函数，选C． 答案：C 2．已知f(x)是偶函数，且f(4)＝5，那么f(4)＋f(－4)的值为(　　) A．5　　 B．10　　C．8　　 D．不确定 解析：∵f(x)是偶函数，∴f(4)＋f(－4)＝f(4)＋f(4)＝2f(4)＝2×5＝10. 答案：B 3．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________. 解析：∵f(x)是R上的奇函数， ∴f(1)＝－f(－1)＝－3.[来源:学,科,网] 答案：－3 4．函数f(x )＝－2x2＋x－1在区间[－1,2]上的值域是______． 解析：由于f(x)＝－2x2＋x－1＝－2.，最小值为f(2)＝－7，故值域为＝－∈[－1,2]，所以f(x)最大值是f，而2－ 答案： 函数奇偶性的判定与证明[来源:学科网ZXXK] 函数奇偶性判断的方法 (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)与f(x)的关系，从而确定奇偶性． (2)图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数的图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择或填空题中． 判断下列函数的奇偶性：[来源:学科网] (1)f(x)＝； ；(2)f(x)＝ (3)f(x)＝(x2－1). [自主解答] (1)函数定义域为R，且f(－x)＝＝－f(x)．故该函数是奇函数． ＝ (2)函数定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，且f(－x)＝＝f(x)．故该函数是偶函数．[来源:学科网]＝ (3)函数定义域是{x|x≥－1}，不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数． [点评]1.判断函数奇偶性前，不宜盲目化简函数解析式，若必须化简，要在定义域的限制之下进行，否则很容易影响判断，得到错误结果． 2. 除了用定义法和图象法判断奇偶性以外，还有如下性质可判定函数奇偶性： 偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域) 　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|； (3)f(x)＝x2＋. 解：(1)函数定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)，所以该函数是奇函数． (2)函数定义域为R，且f(－x)＝|－x＋2|＋|－x－2|＝|x－2|＋|x＋2|＝f(x)，所以该函数是偶函数． (3)函数定义域是{x|x≥0}，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数． 函数奇偶性的应用 已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式，求对称区间上的解析式时，首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知解析式的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可． 函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x＋1，则当x＜0时，f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝－x＋1 B．f(x)＝－x－1 C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝x－1 [自主解答] 设x＜0，则－x＞0. ∴f(－x)＝x＋1. 又函数f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1， ∴f(x)＝－x－1(x＜0)．[来源:学&科&网] 答案：B [点评]1.利用奇偶性求值时，主要根据f(x)与f(－x)的关系将未知转化为已知求解，若需要借助解析式求值，代入自变量的值时，该自变量值必须在该解析式对应的区间上，否则不能代入求值，而应转化． 2．已知函数是奇函数或偶函数，求解析式中的参数值时，通常有两种方法：一是利用奇、偶函数