第2章 5.3 直线与平面的夹角（课件）-2018年数学同步优化指导（北师大版选修2-1）

第二章　空间向量与立体几何 § 5　夹角的计算 5.3　直线与平面的夹角 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 1．理解直线与平面的夹角的概念． 2．会利用向量的方法求直线与平面的夹角． 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 1．直线与平面的夹角 (1)平面外一条直线与它在该平面内的__________的夹角叫作该直线与此平面的夹角． (2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角为__________. (3)如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是__________. (4)直线与平面夹角的范围：__________. (5)斜线与平面夹角的范围：__________ . 投影 0 eq \f(π,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 2．直线与平面夹角的向量求法 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n. (1)当a，n与α，l的关系如图所示时， 则l与α所成角θ与a，n所成的角互余． 即sin θ＝cos〈a，n〉＝eq \f(a·n,|a||b|). 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 (2)当a，n与α，l的关系如图所示时， 则l与α所成角θ与a，n所成的补角互余．即sin θ＝|cos〈a，n〉|＝eq \f(|a·n|,|a||n|). 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1的夹角． [思路点拨]　利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标．利用平面ABB1A1的法向量求解． 直线与平面夹角的基本求法 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，eq \r(2)a)，C1 ，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，\f(a,2)，\r(2)a))，eq \o(AA1,\s\up15(→))＝(0,0，eq \r(2)a) 设侧面ABB1A1的法向量n＝(λ，x，y)， 所以n·eq \o(AB,\s\up15(→))＝0，且n·eq \o(AA1,\s\up15(→))＝0. 所以ax＝0，且eq \r(2)ay＝0，令x＝y＝0， 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 故n＝(λ，0,0)． 又因为eq \o(AC1,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，\f(a,2)，\r(2)a))， 所以cos 〈eq \o(AC1,\s\up15(→))，n〉＝eq \f(n·\o(AC1,\s\up15(→)),\a\vs4\al(|n||\o(AC1,\s\up15(→))|))＝eq \f(－λ\f(\r(3),2)a,|λ|·\r(3)a)＝－eq \f(λ,2|λ|)＝±eq \f(1,2). 所以AC1与侧面ABB1A1的夹角为30°. 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 【题后点评】　求直线与平面夹角的方法 (1)几何法：先找(或作)出线面角，然后通过解直角三角形求．基本步骤是作图→证明→计算． (2)向量法：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，l与α所成的角为θ，则sinθ＝eq \f(|a·n|,|a||n|). 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 1．如图所示，在正方体ABCD­ A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD的夹角． 解：方法一　连接BC1交B1C于点O，连接A1O，在正方体ABCD­A1B1C1D1中， 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 ∵B1C⊥BC1，BC1⊥A