第2章 5.3 直线与平面的夹角（反馈达标训练）-2018年数学同步优化指导（北师大版选修2-1）

第二章 § 5 5.3 1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是(　　) A．90°　　 B．30°　 C．45°　　 D．60° 解析：∵cos〈a，b〉＝，又由题意知〈a，b〉∈(0,90°)，＝ ∴〈a，b〉＝60°. 答案：D 2．直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，若〈s，n〉＝，则直线l与平面α所成的角为(　　) A． B． C． D． 解析：∵〈s，n〉＝.[来源:学科网]＝－，∴l与α所成的角为＞ 答案：B 3．若平面α的一个法向量n＝(4,1,1)，直线l的方向向量a＝(－2，－3,3)，则l与α夹角的余弦值为(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：cos〈a，n〉＝.＝－＝ ∴l与α夹角的余弦值为.＝ 答案：D 4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若F，G分别是棱AB，CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于(　　) A． B． C． D． 解析：方法一　过F作BD的平行线交AC于M，则∠MGF即为直线FG与平面A1ACC1所成的角． 设正方体棱长为1，则MF＝.，∴sin ∠MGF＝，GF＝ 方法二　如图，分别以AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 设正方体棱长为1，则易知平面A1ACC1的一个法向量为n＝(－1,1,0)． ∵F.＝，∴，G 设直线FG与平面A1ACC1所成角为θ，[来源:学&科&网Z&X&X&K] 则sin θ＝|cos〈n，.[来源:Zxxk.Com]＝＝〉|＝ 答案：D[来源:学#科#网Z#X#X#K] 5．如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB．求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．[来源:学科网ZXXK] 解：由题设条件知，可建立以AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴的空间直角坐标系(如图所示)． 设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)． ∴＝(－1，－1,1)． ＝(0,0,1)， 显然的夹角β＝90°－θ，是底面的法向量，它与已知向量 故有sin θ＝|cos β|＝，＝＝ 于是cos θ＝.＝ $$