2018年秋八年级数学沪科版上册课件：第15章 15.4 (2份打包)

利用角平分线性质解决计算问题． 【例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，并交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB＝6 cm.求△DEB的周长． 【思路分析】利用角平分线的性质、三角形全等和等腰直角三角形的性质，把△DEB的周长转化为AB的长． 【规范解答】∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE.在Rt△ACD和Rt△AED中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AD＝AD,CD＝ED))，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AC＝AE＝CB.∵AB＝6 cm，∴△DEB的周长＝DB＋DE＋EB＝CD＋DB＋EB＝BC＋EB＝AE＋EB＝AB＝6(cm)． 利用角平分线性质解决证明问题． 【例2】如图所示，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P，过点P分别作AB、AC(或延长线)的垂线，垂足分别为点M、N.求证：BM＝CN. 【思路分析】要证BM＝CN，由图形特征可构造以BM、CN为边的两个三角形，并证明这两个三角形全等．考虑∠BAC的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P，于是连接PB、PC，则利用线段的垂直平分线和角平分线的性质即可解决． 【规范解答】∵AP是∠BAC的平分线，PM⊥AB，PN⊥AC，∴PM＝PN(角平分线上的点到角两边的距离相等)．又∵PD是BC边的垂直平分线，∴PB＝PC(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)．由PB＝PC，PM＝PN，知Rt△PBM≌Rt△PCN(HL)，∴BM＝CN. 【方法归纳】这是一道线段的垂直平分线与角平分线的综合应用问题．上述解答省去了两次全等的证明，请同学们在学习中体会线段的垂直平分线性质定理与角平分线性质定理在几何证明中的重要性． C 1．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB.作法的合理顺序是( ) ①作射线OC　②在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE　③分别以D、E为圆心，大于eq \f(1,2)DE的长为半径作弧，在∠AOB内两弧交于点C A．①②③　　 B．②①③　　 C．②③①　　 D．③②① B 2．如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是点C、D，则下列结论错误的是( ) A．PC＝PD B．∠CPO＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD 3．如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( C ) A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点 C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点 10 10 cm ＜ 4．已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD＝10，则PE的长度为　 　. 5．如图，△ACB中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D.若AC＝10 cm，则AE＋DE＝　 　. 6．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，F为AC上一点，且∠DFA＝100°，则DE　　DF(填“＞”“＜”或“＝”)． 7．如图，在图中作出点C，使得C是∠MON平分线上的点，且AC＝OA，并简述步骤． 解：如图，步骤：①作∠MON的平分线OB；②以点A为圆心，以OA为半径画弧交OB于点C，连接AC，则点C即为所求作的点． A C 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB.若CD＝5 cm，则BE的长为( ) A．5 cm　 B．6 cm　 C．8 cm　 D．10 cm 9．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA于点D.若PC＝4，则PD等于( ) A．4 B．3 C．2 D．1 B 15 10．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长度是( ) A．4 B．3 C．6 D．5 11．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D.已知AB＝10 cm，CD＝3 cm，则△ABD的面积为　　 cm2. 4 互补 12．如图所示，已知AB∥CD，O是∠BAC与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，OE＝2，则AB与CD之间的距离为　　. 13．如图，AC平分∠BAD，CM⊥AB，且AB＋AD＝2AM，则∠ADC与∠ABC的关系是　 　. 14．如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC.求证