2018-2019学年北师大版高中数学选修4-4同步配套（课件+练习）：1.1 平面直角坐标系(4份打包)

§1　平面直角坐标系 1.1　平面直角坐标系与曲线方程 课时过关·能力提升 1.已知平面内三点A(2,2),B(1,3),C(7,x),满足,则x的值为(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.6 C.7 D.9 解析:因为=(1,-1),=(5,x-2), 又,所以=0, 即5-(x-2)=0.所以x=7. 答案:C 2.设动点P在直线x=1上,O为坐标原点,以OP为直角边,O为直角顶点,作等腰直角三角形OPQ,则动点Q的轨迹是(　　). A.圆 B.两条平行线 C.抛物线 D.双曲线 解析:设Q(x,y),P(1,a),由题意,得 ∴a2y2+y2=12+a2.∴y2=1,即y=±1. 答案:B 3.已知△ABC的底边BC的长为12,底边固定,顶点A是动点,且sin B-sin C=sin A.若以底边BC(点B在点C左侧)所在直线为 x轴、底边BC的中点为坐标原点建立平面直角坐标系,则点A的轨迹方程是(　　). A.=1 B.=1(x<-3) C.=1 D.=1(x<-3) 解析:由题意知,B(-6,0),C(6,0),由sin B-sin C=sin A,得|AC|-|AB|=|BC|=6. 所以点A的轨迹是以B(-6,0),C(6,0)为焦点,2a=6的双曲线的左支,且y≠0. 故点A的轨迹方程为=1(x<-3).[来源:学_科_网Z_X_X_K] 答案:B 4.已知两定点A(-2,0),B(1,0),若动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所围成的图形的面积为(　　). A.π B.4π C.8π D.9π 解析:设点P的坐标为(x,y),由|PA|=2|PB|,得 =2, 整理,得x2-4x+y2=0,即(x-2)2+y2=4,故点P的轨迹是以点(2,0)为圆心,2为半径的圆.所以S=πr2=4π. 答案:B 5.已知平面内有一条固定线段AB,若|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,O为AB的中点,则|OP|的最小值是(　　). A. B. C.2 D.3 解析:以AB的中点O为原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.由题意知点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支,且2c=4,2a=3,所以c=2,a=. 所以b2=c2-a2=4-.故点P的轨迹方程为=1.由图可知,当点P为双曲线与x轴的右交点时,|OP|最小,|OP|的最小值是. 答案:A 6.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(4,1),B(-1,3),若点C满足=m+n·,其中m,n∈[0,1],且m+n=1,则点C的轨迹方程为　　　　　.  解析:由题意知,A,B,C三点共线且点C在线段AB上.因为点A,B所在直线的方程为2x+5y-13=0,且点C的轨迹为线段AB,所以点C的轨迹方程为2x+5y-13=0,x∈[-1,4]. 答案:2x+5y-13=0,x∈[-1,4] 7.已知函数f(x)=,则f(x)的最小值为　　　　　.  解析:f(x)可看作是平面直角坐标系中x轴上一点(x,0)到两定点(-1,1)和(1,1)的距离之和,结合图形可得,f(x)的最小值为2. 答案:2 8.一动点在圆x2+y2=1上移动,它与定点(3,0)连线的中点的轨迹方程是　　　　　.  解析:设圆上一动点M(x0,y0),它与定点(3,0)连线的中点为P(x,y),则有 ∴(2x-3)2+(2y)2=1. 故中点P的轨迹方程是+y2=. 答案:+y2= 9.某河上有抛物线形拱桥,当水面距拱顶5 m时,水面宽 8 m,一木船宽4 m,高2 m,载货后木船露在水面上的部分的高为 m,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,木船开始不能通航? 解根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0). 因为A(4,-5)在抛物线上,所以42=-2p×(-5),所以p=1.6.所以x2=-3.2y. 设当水面上涨到与抛物线拱顶相距h m时,木船开始不能通航,这时木船两侧与抛物线接触,于是可设木船宽BB'的端点B的坐标为(2,y1).由22=-3.2y1,得y1=-,h=|y1|+=2(m),所以当水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m时,木船开始不能通航. ★10.在△ABC中,底边BC的长为12,其他两边AB和AC上的中线CE和BD的和为30,建立适当的平面直角坐标系,求此三角形重心G的轨迹方程. [来源:学.科.网] 解以BC边所在的直线为x轴,BC边上的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系,[来源:学科网] 则B(6,0),C(-6,0). 由|BD|+|CE|=30, 得|GB|+|GC|= (|BD|+|CE|)=20>12, 所以重心G的轨迹是椭圆. 设G(x,y),则其轨迹方程为=1(a