2018-2019学年北师大版高中数学选修4-4同步配套（课件+练习）：2.4平摆线和渐开线 (2份打包)

§4　平摆线和渐开线 课时过关·能力提升 1.给出下列说法:[来源:Z&xx&k.Com] ①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程; ②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,且不容易看出坐标之间的关系,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题; ③在求圆的平摆线和渐开线方程时,如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同,可能会得到不同的参数方程; ④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点. 其中正确的说法有(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.①③ B.②④ C.②③ D.①③④ 解析:对于一个圆,只要半径确定,渐开线和平摆线的形状就是确定的,但是随着选择坐标系的不同,其在坐标系中的位置也会不同,相应的参数方程也会有所不同,至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置. 答案:C 2.平摆线(0≤t≤2π)与直线y=2的交点的直角坐标是(　　). A.(π-2,2) B.(3π+2,2) C.(π-2,2)或(3π+2,2) D.(π-3,5) 解析:由y=2得2=2(1-cos t),所以cos t=0. 因为0≤t≤2π,所以t=或t=. 所以x1=2=π-2, x2=2=3π+2. 所以交点的直角坐标为(π-2,2)或(3π+2,2). 答案:C 3.如图所示,四边形ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”,其中…的圆心依次按B,C,D,A循环,它们依次相连接,则曲线段AEFGH的长是(　　). A.3π B.4π C.5π D.6π 解析:根据渐开线的定义可知,是半径为1的圆周长,长度为是半径为2的圆周长,长度为π;是半径为3的圆周长,长度为是半径为4的圆周长,长度为2π.所以曲线段AEFGH的长是5π. 答案:C 4.已知一个圆的参数方程为(θ为参数),则圆的平摆线方程中参数t=对应的点A与点B之间的距离为(　　). A.-1 B. C. D. 解析:根据圆的参数方程,可知圆的半径为3,则它的平摆线的参数方程为把t=代入参数方程中可得即A, 故|AB|=. 答案:C 5.如果半径为3的圆的平摆线上某点对应的参数φ=,那么该点的坐标为　　　　　.  解析:因为r=3,所以圆的平摆线的参数方程为(φ为参数). 把φ=代入得x=π-,y=3-. 故该点的坐标为. 答案: 6.已知圆的方程为x2+y2=4,P为其渐开线上一点,其对应的参数φ=,则点P的坐标为　　　　　.  解析:由题意知圆的半径r=2,其渐开线的参数方程为(φ为参数). 当φ=时,x=π,y=2,故点P的坐标为(π,2). 答案:(π,2) 7.已知一个圆的平摆线方程是(φ为参数),则该圆的面积为　　　　,对应圆的渐开线的参数方程为　　　　　　　　　　.  答案:16π　(φ为参数)[来源:学科网ZXXK] 8.有一标准的渐开线齿轮,齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm,则齿廓线所在的渐开线的参数方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.  解析:因为基圆的直径为22 mm,所以基圆的半径为11 mm, 因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为(t为参数). 答案:(t为参数) 9.已知平摆线的生成圆的直径为80 mm,写出平摆线的参数方程,并求其一拱的拱宽和拱高. 解因为平摆线的生成圆的半径r=40 mm,所以此平摆线的参数方程为(t为参数),它一拱的拱宽为2πr=2π×40=80π(mm),拱高为2r=2×40=80(mm). 10.已知圆的渐开线(φ为参数,0≤φ<2π)上有一点的坐标为(3,0),求渐开线对应的基圆的面积. 解把已知点(3,0)的坐标代入参数方程得 解得 所以基圆的面积S=πr2=π×32=9π. ★11.如图所示,若点Q在半径AP上(或在半径AP的延长线上),当圆沿着x轴方向作无滑动的滚动时,点Q的轨迹称为变幅摆线,取|AQ|=或|AQ|=,请推出Q的轨迹的参数方程. 解设Q(x,y),P(x0,y0),若A(rθ,r),[来源:学科网ZXXK] 则 当|AQ|=时,有代入 得点Q的轨迹的参数方程为 (θ为参数). 当|AQ|=时,有 代入 得点Q的轨迹的参数方程为 (θ为参数). ★12.一个圆沿着一条定直线作无滑动的滚动时,求圆内一定点M的轨迹的参数方程. 解取定直线为x轴,点C在x轴上时的一个位置为原点,建立如图所示的直角坐标系. 设点M(x,y)为轨迹上任一点. 取圆的转动角∠ABM=φ为参数. 设圆半径为r,点M到圆心的距离为d(d<r). 开始时定点位于M0,滚动φ角后处于图中位置, 此时=rφ,得|OA|=rφ,=(rφ,r). 由α=-φ,得=(dcos α,dsin α) = =(-dsin φ,-dcos φ). 由此得=(rφ-dsin φ