人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用1.4优化问题举例教学案（教师版+学生版） (共2份打包)

HYPERLINK "https://www.renjiaoshe.com/gaozhongshuxue/x22/37738.html" \t "_blank" 优化问题举例 导数与函数的极值 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2、理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 一、导数与函数的极值： 1．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数 =-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题 （1）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数 在t=a处的导数是多少呢？ （2）在点t=a附近的图象有什么特点？ （3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？ 共同归纳: 函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当t＜a时,函数 单调递增, ＞0;当t＞a时,函数 单调递减, ＜0,即当t在a的附近从小到大经过a时, 先正后负,且 连续变化,于是h/(a)=0. 3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>、探索研讨 1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题： （1）函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? （2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少? （3）在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢? 2、极值的定义: 我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值； 点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。 极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值. 类型一：函数的单调性与导数： 例1、求函数 的极值 练习： 1．求下列函数的极值. (1)y=x2－7x+6 (2)y=x3－27x 类型二 求含字母参数的函数的极值 例2.（06安徽卷）设函数 ，已知 是奇函数。 （Ⅰ）求 、 的值。 （Ⅱ）求 的单调区间与极值。 举一反三：(2005年全国高考题)设a为实数,函数 (Ⅰ)求 的极值. (Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线 轴仅有一个交点. 考点二 求函数的最值 例3.已知a为实数， （1）若 ，求 在[－2，2] 上的最大值和最小值； （2）若 在（—∞，—2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围. 举一反三：1.（06浙江卷） 在区间 上的最大值是 A．-2 B．0 C．2 D．4 2. (06全国卷Ⅱ)已知a≥ 0 ，函数f(x)=（ -2ax） (1) 当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；（2）设f(x)在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围. 考点三 利用导数解决函数的综合问题 例4.(06年深圳市模拟)已知函数 的图象与函数 的图象相切,记 . （Ⅰ）求实数 的值及函数 的极值； （Ⅱ）若关于 的方程 恰有三个不等的实数根，求实数 的取值范围. 举一反三: (中山市模拟.) 已知函数 的图象为曲线E. (Ⅰ) 若曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a,b的关系； (Ⅱ) 说明函数 可以在 和 时取得极值，并求此时a,b的值； (Ⅲ) 在满足(2)的条件下， 在 恒成立，求c的取值范围. 例5.设函数 ，其中 . （1）求函数 的极值； （2）若当 时，恒有 ，试确定实数 的取值范围. 1．函数f(x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点、有四个极小值点 B．有一个极大值点、两个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点 2．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a、b∈R. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)设g(x)＝f ′(x)e－x，求函数g(x)的极值． 3．已知函数f(x)＝x2＋alnx. (1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方． ___________________________________________