湖南省郴州市苏仙中学湘教版九年级上册培优：第14讲相似三角形的应用与位似变换(无答案)

第14讲 相似三角形的应用与位似变换 姓名：___________ 一、知识点： 观察下图,图中的多边形相似吗?如果相似,那么这种相似有什么共同的特征? 1、位似图形的概念:如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,对应点到位似中心的距离比称为位似比.每对位似对应点与位似中心共线(位似中心可在形上、形外、形内);不经过位似中心的对应线段平行. 2、位似变换的作用：利用位似变换可以将一个图形放大或缩小. 如：把图中的四边形ABCD缩小到原来的一半. 作法一: 作法二: 作法三: 3、位似图形的性质：（1）位似图形上的对应点与位似中心在同一条直线上. （2）位似图形上的对应线段平行或在同一条直线上.（3）位似图形是特殊的相似图形，因此位似图形具有相似图形的一起性质. 二、例题讲解： 【例1】如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连接NP、BP. (1)求证：四边形BMNP是平行四边形； (2)线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由． 【例2】如图，□的一边，若的长是的一元二次方程的两个根，. （1）求直线的解析式；（2）若为轴上的点，且，求经过的直线的解析式，并判断与是否相似，并说明理由；（3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【例3】如图，正方形OABC的边长为4，点A,C分别在轴和轴的正半轴上，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在线段AB上来回运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B-C-O方向向点O运动，P,Q点同时出发，当点Q到达点O时，两点同时停止运动，设运动时间为. （1）当t=1时，求直线PQ的解析式；（2）当点Q在BC上运动时，若以P,B,Q为顶点的三角形与△AOP相似，求的值. 【例4