专题05 空间几何探索性问题求解策略-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析（五）

高考、模拟题中对立体几何的考查出现了一些新题型，题目具有探索性、开放性，对这类问题向量法是求解这类问题的很好手段，借助向量使得几何问题代数化，降低了问题的难度，利用空间向量，将空间的位置关系转化为某个几何量的数量关系，再具体求出这个变量，从而确定满足条件的几何量。解决这类问题的关键有两个：一是建立恰当的空间直角坐标系；二是存在性问题成立策略先假设存在，通过数量积的运算如果能够得出结论说明存在；否则就不存在。下面具体剖析。 一．平行中的存在性问题 例1.在如图所示的几何体中，底面为菱形， ， ,且 ， 平面 ， 底面. （Ⅰ）求二面角 的大小； （Ⅱ）在 上是否存在一点 ，使得 EMBED Equation.3 平面 ，若存在，求 的值，若不存在，说明理由. 解：（I）设与交于，如图所示建立空间直角坐标系， 设，则， 设 则， EMBED Equation.3 解得 ， ，设平面的法向量为 ， 则 ， 令 ， ，又平面 的法向量为 EMBED Equation.3 所以所求二面角的大小为 [来源:Zxxk.Com] （Ⅱ）设得 ， ，解得 ， 存在点使面此时。 【点评】：本题通过建立坐标系，表示出相关点的坐标，利用向量知识求出平面的法向量，再利用数量积公式求出二面角，第二问题目具有开放性，注意借助第一问的法向量进行求解。 二．垂直中的存在性问题 例2【2012高考真题北京理16】 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2. (I)求证：A1C⊥平面BCDE； (II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小； (III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由 解：（1），，平面， 又平面， 又，平面。 （2）如图建系，则，，，，∴, 设平面法向量为，则 ∴ ∴， ∴ 又∵，∴ ∴， ∴与平面所成角的大小。 （3）设线段上存在点，设点坐标为，则 则，，设平面法向量为， 则 ∴∴。 假设平面与平面垂直，则，∴，，， ∵，∴不存在线段上存在点，使平面与平面垂直。 点评：立体几何 “是否存在”、“是否有”、“在何位置”等，传统方法解答此类问题的思路是：首先假设点存在或猜测点的位置，再进行推证，若推出矛盾，即可知该点不存在；利用向量法显得简单的多，存在性问题成立策略先假设存在，通过数量积的运算如果能够得出结论说明存在；否则就不存在。 三．空间角中的探索性问题 例3．（2011浙江理科）如图，在三棱锥 中， ，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2[来源:学科网ZXXK] （Ⅰ）证明：AP⊥BC； （Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。 （I）证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O—xyz， 则 ， ，由此可得 ，所以 ，即 （II）解：设 ， ，设平面BMC的法向量 ， 平面APC的法向量 EMBED Equation.DSMT4 ，由 得 即 由 即 得 由 解得 ，故AM=3。 综上所述，存在点M符合题意，AM=3。 点评： 在解决一些立体几何探索性问题时，利用空间向量能够避免繁琐的“找”、“作”、“证”，只需通过定量计算，就可以解决问题，降低了思维难度，易于把握，体现了空间向量在解题中的巨大作用。 四．达标测试题 1．（2018•陕西三模）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．[来源:学*科*网] （Ⅰ）求证：AD⊥BC； （Ⅱ）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB． 2（2018•南京三模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=，其余棱长均为2，M是棱PC上的一点，D，E分别为棱AB，BC的中点． （1）求证：平面PBC⊥平面ABC； （2）若PD∥平面AEM，求PM的长． 3．（2018•如皋市二模）如图，在四棱锥P─ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD． （1）证明：平面PBD⊥平面PAC； （2）设E为线段PC上一点，若AC⊥BE，求证：PA∥平面BED． [来源:学|科|网Z|X|X|K] 4（2018•聊城模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2． （1）求四棱锥P﹣ABCD的体积V； （2）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AE