专题06 立体几何的综合问题剖析-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析（五）

想一想重难点 新课标高考题对空间向量的考查仍然集中在解答题中应用空间向量处理立体几何中有关直线、平面位置关系与度量的问题，培养和发展考生的推理论证能力、逻辑思维能力、运用向量语言进行表达和交流的能力、空间想象能力和几何直观能力，在经历向量及其运算由平面向空间推广的过程和运用向量方法解决空间几何问题的过程中，感悟运算、推理在探索和发现中的作用，体会数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量，提高数学素养。 读一读考试说明 新课标中对空间向量提出了明确的要求，通过这些要求的学习，不难看出，新高考对空间向量的考查力度将会加大，空间向量的考查一定会成为新课标高考的一个热点内容。考虑到向量的工具性作用，考查的形式一般不直接表述向量法解题，而主要渗透到在空间几何体的考查中运用。 利用空间向量解决立体几何问题，主要有两种策略：一是建立空间直角坐标系，通过向量的坐标运算解决问题；二是不建立坐标系直接利用空间向量基本定理，即将有关向量用空间的一组基底表示出来，然后通过向量的有关运算求解。在给出的空间图形适合建立坐标系的情况下，应建立坐标系求解。 在本部分内容的复习中，要熟练的掌握利用向量解决上述各类问题的一般解法，如通过共线向量证明平行，通过数量积为零证明垂直，利用直线方向向量的夹角求以面直线所成的角，利用平面法向量求二面角、点面距等，都有较为固定的模式和步骤，应达到非常熟练的程度。同时还应注意加强对空间直角坐标系的建立方法、平面法向量的求法等训练。 看一看高考试题 （一）考查线面关系 例1：如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧棱 底面 分别为 的中点． （1）证明 平面 ； （2）设 ，求二面角 的大小． 考情分析：本题主要考查立体几何位置关系，空间想象力及运算能力。 难度系数：★★ 解析：（1）如图，建立空间直角坐标系 ． 设 ，则 [来源:学#科#网Z#X#X#K] ， ． 取 的中点 ，则 ． 平面 平面 ， 所以 平面 ． （2）不妨设 ，则 ． 中点 EMBED Equation.3 ， 又 ， ， 所以向量 和 的夹角等于二面角 的平面角． 所以二面角 的大小为 ． 点评：根据图形的垂直关系建立适当的直角坐标系，求出相应点的坐标，把问题转化为向量的坐标运算解决。 （二）考查角的度量、距离的计算 例2、如图，正三棱柱 的所有棱长都为 ， 为 中点．且 平面 ； （1）求二面角 的大小； （2）求点 到平面 的距离． 考情分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力。 难度系数：★★★ 解析：取 中点 ，以 为原点， ， ， 的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ． ， ． ， ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 令 得 为平面 的一个法向量． 由（Ⅰ）知 平面 ， 为平面 的法向量． 二面角 的大小为 ． （Ⅲ）由（Ⅱ）， 为平面 法向量， ． 点 到平面 的距离 点评：用空间向量求点到平面的距离的方法步骤施：（1）求出平面的单位法向量 ；（2）任取一条过该点攒该平面内的一条斜线段，求出其向量坐标 ；（3）求出 和 杜数量积的绝对值，即得点到平面的距离d＝| · |，其中单位法向量由法向量除以它杜模得到，斜线段可以任取，但必须经过该点。 （三）考查探索问题 例3、如图，在三棱锥 中， ， ， 是 的中点，且 ， ． （I）求证：平面 平面 ； （II）试确定角 的值，使得直线 与平面 所成的角为 ． 考情分析：本小题主要考查线面关系，直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力，以及应用向量知识解决数学问题的能力。 难度系数：★★★ 解析：（Ⅰ）以 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， 于是， ， ， ． 从而 ，即 ． 同理 ，[来源:Zxxk.Com] 即 ．又 ， 平面 ． 又 平面 ． 平面 平面 ． （Ⅱ）设平面 的一个法向量为 ， 则由 ． 得 [来源:Zxxk.Com] 可取 ，又 ， 于是 ， 即 EMBED Equation.DSMT4 ， ． 故交 时，直线 与平面 所成的角为 ． 点评：空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只须通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否与解，是否与规定范围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题。 做一做模拟题 7．（2018•泸州模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为B1C1的中点